das sy}em der mathematik5rift in der d2t5en braille5rift -------------------------- na4 den be5l8ssen vom #cj.aa.bjac in basel ni4t 1sdruckbare version f8r das lesen an 3ner braillez3le her1sgegeben vom braille5riftkomitee der d2t5spra4igen l`nder >bskdl unterkommission mathematik5rift das sy}em der mathematik5rift in der d2t5en braille5rift d0se sy}ematik er53nt in 5warz- und braille5rift. ihre unver`nderte, voll}`ndige verv0lf`ltigung zu privaten, ni4t-kommerziellen zwecken i} erw8n5t. das titelblatt i} be}andt3l des copyrights. redaktion: petra aldridge, z8ri4 vivian aldridge, basel g8nther kappel, marburg yvonne samland, l3pzig satz: braille- und 5warzdruck: vivian aldridge #, 1flage #bjae =>c= braille5riftkomitee der d2t5spra4igen l`nder >bskdl >isbn der 5warz5rift-1sgabe der >sbs: #igh.c.jcc.jdifd.b '$www.bskdl.org das sy}em der mathematik5rift in der d2t5en braille5rift -------------------------- in dr3 brailleb`nden er}er band dank :::: d0ses regelwerk wurde dank gro~- z8giger finanzieller zuwendungen folgender }iftungen erm9gli4t: georg und monique diem-58lin-}iftung hans-eggenberger-}iftung hir5mann-}iftung fr0dri4 und amalie meyer-b1mann- }iftung migros-kulturprozent dr. jean }0ger-}iftung f8r ihre fa4li4e unter}8tzung danken wir: brigitte betz, marburg r3ner herrmann, hannover mitgl0der der unterkommission mathematik5rift des >bskdl ::::::::::::::::::::::::::::: petra aldridge, z8ri4 >sbs 5w3zeri5e bibliothek f8r blinde, seh- und lesebehinderte vivian aldridge, basel sehbehindertenhilfe basel'- >sbh verband der blinden- und seh- behindertenp`dagogik'- >vbs marl0s bo4sler, z8ri4 >sbs 5w3zeri5e bibliothek f8r blinde, seh- und lesebehinderte ri4ard h2er gen. hallmann, hagen arb3tsber34 1diotaktile medien der $fern$universit`t in hagen vorsitzender des >bskdl g8nther kappel, marburg d2t5e blinden}udienan}alt e.v., marburg'- 'blista g8nther koos, marburg carl-}rehl-5ule der d2t5en blinden}udienan}alt e.v., marburg'- 'blista ern}-d0tri4 lorenz, hannover d2t5er ver3n der blinden und seh- behinderten in }udium und beruf e.v.'- >dvbs tina lorig, d8ren >lvr-louis-braille-5ule d8ren, medienzentrum yvonne samland, l3pzig d2t5e zentralb84er3 f8r blinde zu l3pzig =>dzb= eri4 5mid, w0n bundes-blindenerz0hungsin}itut'- >bbi blinden- und sehbehindertenverband 9}err34 inhaltsverz34nis ================ er}er band :::::::::: vorwort ....................... #a entwicklung ................. #b kompakth3t versus kontextun- abh`ngigk3t ............. #c n2erungen ................... #d zum gebr14 d0ses regelwerks ... #i 1fb1 ........................ #i $la$te>x .................... #aa #a grundlegende te4niken zur 8bertragung von mathematik #ae #a.a we4sel zwi5en text- und mathematik5rift ......... #ae #a.a.a layout ............. #af #a.a.b an- und abk8ndi- gungsz34en f8r mathema- tik5rift .............. #ba #a.a.c an- und abk8ndi- gungsz34en f8r text- 5rift ................. #bd #a.a.d doppelleerz34ente4- nik ................... #be inhaltsverz34nis >i #a.a.e hinw3se zum 3nsatz der 5riftwe4selte4niken #bi #a.b trennen und zusammenhal- ten mathemati5er 1sdr8cke #cb #a.c anmerkungen zur braille- 5rift8bertragung ........ #cd #b ziffern und zahlen ......... #cg #b.a arabi5e ziffern und zah- len ..................... #cg #b.a.a zahlen in }andard- 5r3bw3se .............. #ch #b.a.b zahlen in gesenkter 5r3bw3se .............. #da #b.a.c dezimalbr84e ....... #dd #b.a.d periodi5e dezimal- br84e ................. #df #b.a.e gl0derung langer zahlen ................ #dg #b.a.f ordnungszahlen, de- zimalklassifikatoren, daten und uhrz3ten .... #di #b.b r9mi5e zahlen .......... #eb #c bu4}aben und satzz34en ..... #ee #c.a vorbemerkung zur kenn- z34nung von bu4}aben .... #ee #c.b gro~- und kl3n5r3bung lat3ni5er bu4}aben ...... #ef inhaltsverz34nis >ii #c.c gr04i5e bu4}aben ....... #ei #c.d besondere typografi5e 1sz34nungen ............. #fe #c.e bu4}aben`hnli4e symbole #gj #c.f kurzwortsymbole ........ #gd #c.g satzz34en .............. #gg #c.h text in der mathematik- 5rift ................... #gh #d 3nh3ten .................... #ha #d.a kennz34nung von 3nh3ten- symbolen ................ #ha #d.b prozent, promille ...... #hc #d.c winkel- und temperatur- ma~e .................... #hc #d.d 3nh3tensymbole 1s bu4}a- ben ..................... #hd #d.e vergr9~erungs- und ver- kl3nerungspr`fixe ....... #hg #d.f w`hrungssymbole ........ #ij #e operations- und relationsz3- 4en ....................... #ic zw3ter band ::::::::::: #f klammern und senkre4te }ri4e #ajc #f.a allgem3nes zu klammern #aje #f.b 3nfa4e klammern ........ #aje inhaltsverz34nis >iii #f.c spezielle braille5rift- klammern ................ #ajh #f.d mehrz3lige klammer1sdr8- cke ..................... #aaa #f.e senkre4te }ri4e ........ #aag #f.f textklammern in der ma- thematik ................ #abj #g pf3le ...................... #abc #g.a modulare pf3le ......... #abc #g.b defin0rte pf3le ........ #abi #g.c be5riftung von pf3len .. #aca #h 3nfa4e und zusammenfassende mark0rungen ............... #ace #h.a 3nfa4e mark0rungen ..... #aci #h.b zusammenfassende mark0- rungen .................. #adb #i br84e ...................... #adg #i.a zahlenbr84e und gemi5te zahlen .................. #adg #i.b 3nfa4e bru45r3bw3se .... #aej #i.c 1sf8hrli4e bru45r3bw3se #aeb #i.d mehrfa4br84e ........... #aef #aj projektivte4nik ........... #aei #aj.a 3nfa4e projektive ..... #afa #aj.b ver}`rkte projektive .. #afd #aj.c indizes und exponenten #aff #aj.c.a hintere indizes und inhaltsverz34nis >iv exponenten ............ #afg #aj.c.b vordere indizes ... #agb #aj.c.c indizes 1s ganzen zahlen ................ #agd #aj.d wurzeln und zus`tze ... #agf #aa analysis .................. #agi #aa.a funktionen ............ #ahj #aa.b logarithmus- und expo- nentialfunktionen ....... #aha #aa.c integral- und differen- tialre4nung ............. #ahd #ab mengenlehre ............... #ahg #ac logik ..................... #aia #ad geometr0, trigonometr0 und vektoren .................. #aic #ad.a geometri5e symbole .... #aic #ad.b winkel-, hyperbelfunk- tionen und umkehrungen .. #aie #ad.c vektoren .............. #aii #ae platzhalter und horizontale zusammenfassungen ......... #bjc #ae.a platzhalter ........... #bjc #ae.b horizontale zusammen- fassungen und l0gende klammern ................ #bje inhaltsverz34nis >v dritter band :::::::::::: anh`nge ....................... #baa >a#a 5riftli4e re4enverfahren 8ber mehrere z3len ........ #baa >a#a.a addition ............. #bae >a#a.b subtraktion .......... #bag >a#a.c multiplikation ....... #bai >a#a.d division ............. #bba >a#a.e lineare addition ..... #bbc >a#a.f das l9sen von gl34un- gen ..................... #bbf >a#b `nderungen in der mathematik5rift ........... #bbi >a#b.a ge`nderte symbole .... #bbi >a#b.b n2e symbole .......... #bcj >a#b.c zahlen ............... #bcb >a#b.d exponenten und indizes #bcc >a#b.e br84e ................ #bcc >a#b.f bu4}aben ............. #bcd >a#b.g klammern und senkre4te }ri4e ................... #bce >a#b.h 3nh3ten .............. #bcg >a#b.i pf3le ................ #bcg >a#b.aj projektivte4nik ..... #bch >a#b.aa we4sel zwi5en text- und mathematik5rift ..... #bch inhaltsverz34nis >vi >a#b.ab son}iges ............ #bci >a#c glossar .................. #bda >a#d mathemati5e z34en, geord- net na4 der #f-punkte- braille-tabelle ........... #bea >a#e alphabeti5es sa4regi}er .. #bha inhaltsverz34nis >vii inhaltsverz34nis >viii vorwort ======= das vorl0gende regelwerk i} das ergebnis 3ner gro~en 8berarb3tung der d2t5en braillemathematik5rift s3t der ent}ehung der (internationa- len mathematik5rift f8r blinde). d0- se wurde in den #aibj'er jahren von vertretern 3niger l`nder 1sgearb3tet und sorgte daf8r, dass d0 wesentli- 4en elemente'- symbole w0 14 dar}el- lungste4niken'- 3ne w3tgehende in- ternationale 3nh3tli4k3t 1fw0sen. spuren d0ser 3nh3tli4k3t sind 3n knappes jahrhundert sp`ter immer no4 erkennbar. 14 wenn d0 4inesi5e braille5rift erwartungsgem`~ ganz anders i} als d0 d2t5e, werden ken- ner der d2t5en braillemathematik- 5rift b3m betra4ten der 4inesi5en 1f vertr1tes }o~en. vorwort #a entwicklung ::::::::::: d0 braille5rift wird kontinuierli4 n2en bed8rfnissen und her1sforderun- gen angepasst. oft werden d0 5riften f8r 3nzelne spra4en unabh`ngig von- 3nander w3terentwickelt'- und mit ihnen d0 jew3ligen mathematik5rif- ten. im zuge d0ser entwicklungen traten an d0 }elle internationaler gem3nsamk3ten zunehmend von3nander unabh`ngige, 3gen}`ndige mathematik- 5riften. im d2t5en spra4r1m wurde ab den #aiej'er jahren 3ne 8berarb3tung vorgenommen und in 3nem n2en regel- werk fe}gehalten =#aiee', #; 1flage #aihf'=. im l1fe der z3t ent}anden jedo4 regionale varianten. so ent- wickelten si4 d0 notationen in der >brd und in 9}err34, in der >ddr und in der 5w3z 1s3nander. um d0 mathe- matik5rift f8r d0sen spra4r1m w0der zu ver3nh3tli4en und somit d0 1st15- bark3t mathemati5er literatur ni4t vorwort: entwicklung #b w3ter 3nzu5r`nken, wurde #bjjf vom braille5riftkomitee der d2t5spra4i- gen l`nder 3ne unterkommission ge- bildet. kompakth3t versus kontextunabh`ngigk3t :::::::::::::::::::: traditionell haben zahlr34e braillez34en in der mathematik5rift andere werte oder bed2tungen als in der text5rift. 3ne umd2tung der #fd m9gli4en braillez34en erl1bt 3ne sehr kompakte'- und daher 8bersi4t- li4e'- dar}ellung der mathemati5en notation. d0s mit dem kompromiss, dass d0 braillez34en er} dann 3nd2- tig sind, wenn s0 klar der mathema- tik- oder text5rift zugeordnet wer- den k9nnen. in ver50denen spra4en fand dagegen 3n paradigmenwe4sel }att. dur4 d0 dar}ellung mathemati5er symbole dur4 l`ngere kombinationen von braillez3- 4en sind s0 sowohl in allgem3nen als vorwort: kompakth3t #c 14 in mathemati5en kontexten 3nd2- tig. dab3 geht jedo4 d0 kompakth3t der w0dergabe verloren. d0 vorl0gende mathematik5rift be- h`lt d0 trennung in text- und mathe- matik5rift zugun}en der k8rze und 8bersi4tli4k3t der dar}ellung b3. allerdings konnten ann`herungen an d0 text5rift err34t werden, zum b3- sp0l in der kennz34nung der gro~- und kl3n5r3bung. n2erungen ::::::::: (das sy}em der mathematik5rift in der d2t5en braille5rift) gl0dert si4 in zw3 t3le. der vorl0gende er}e t3l be5r3bt d0 regeln zur w0dergabe mathemati5er sa4verhalte in braille5rift. wesent- li4e n2erungen sind im 1fb1 zu ver- z34nen. z34enli}en l3ten d0 jew3li- gen kapitel bzw. ab5nitte 3n. zahl- r34e b3sp0le verd2tli4en d0 umset- zung der regeln. 3n glossar kl`rt vorwort: n2erungen #d spezifi5e begriffli4k3ten der braille5rift. hinw3se zu 5riftli4en re4enverfahren werden unterri4tenden den zugang zur prakti5en arb3t mit der braille5rift erl34tern. interessant d8rfte d0 zus`tzli4e dar}ellung der b3sp0le in $la$te>x s3n. 3n wi4tiges anl0gen i} es, d0 ri4tigk3t der 3genen interpretation der braille5riftb3sp0le 8berpr8fen zu k9nnen. daf8r }eht sehenden d0 5warz5riftdar}ellung zur verf8gung. mit der $la$te>x-dar}ellung wird den ta}lesenden ebenfalls 3ne m9gli4k3t zur kontrolle angeboten. 3ne grundlegende n2erung betrifft d0 m9gli4k3t der kommunikation zwi- 5en den ver50denen lesergruppen. es wurde dar1f gea4tet, dass d0 medial unter50dli4en 1sgaben w0 braille- und 5warz5rift parallel verwendet werden k9nnen. d0 b3sp0le sind num- mer0rt und der text wurde so 1fge- b1t, dass d0 ge}altung in braille- und 5warz5rift im wesentli4en gl34 i}. vorwort: n2erungen #e den zw3ten t3l bildet 3n relief- band, in dem sowohl d0 taktilen 5warz5riftsymbole als 14 d0 braille- entspre4ungen s`mtli4er mathemati5er z34en 1s dem regelwerk 1fgef8hrt sind. damit wird d0 kommunikation zwi5en blinden, sehbehinderten und sehenden interess0rten erl34tert. 1f der website des braille5riftko- mitees der d2t5spra4igen l`nder =>bskdl= k9nnen w3tere b3sp0le ange- sehen und erg`nzt werden ='$www." bskdl.org'.=. d0 inhaltli4en n2erungen der 5rift sind im anhang (>a#b `nderungen in der mathematik5rift) zusammenge- fasst. d0ses regelwerk i} ni4t als lehr- werk konzip0rt. f8r blinde und se- hende unterri4tende, 8bertragende sow0 lesende der braille5rift soll d0se handr34ung d0 grunds`tze der braille5rift =s0he (sy}em der d2t5en blinden5rift)= speziell 1f dem geb0t der mathematik erg`nzen. es b1t also 1f dem grundregelwerk 1f und setzt vorwort: n2erungen #f dessen kenntnis vor1s. basel, januar #bjae im namen der unterkommission mathematik5rift des braille5riftkomitees der d2t5spra4igen l`nder das redaktionsteam vorwort: n2erungen #g vorwort: n2erungen #h zum gebr14 d0ses regelwerks =========================== 1fb1 :::: d0ses regelwerk wird in braille- und 5warz5rift her1sgegeben. 3ne f3- ne gl0derung mit dezimalklassifika- tion d0nt der orient0rung im werk und erl34tert d0 kommunikation b3 der arb3t mit den ver50denen media- len 1sgabeformen. d0 nummer0rung der b3sp0le sp0gelt d0se gl0derung wi- der. 3nf8hrend werden grundlegende te4- niken und hinw3se zur w0dergabe von mathematik in der braille5rift im kapitel #a erl|tert. d0 kapitel #b bis #aa f8hren d0 3nzelnen elemente der notation und deren gebr14 3n. ab5l0~end fokuss0ren d0 kapitel #ab bis #ae 1f 1sgew`hlte geb0te der ma- thematik. zum gebr14: 1fb1 #i in anh`ngen werden anregungen zum arb3ten mit 5riftli4en re4enverfah- ren gegeben, d0 `nderungen und n2e- rungen d0ser 8berarb3tung der mathe- matik5rift 1fgeli}et und braillespe- zifi5e fa41sdr8cke in 3nem glossar erkl`rt. f8r 3ne 5nelle su4e }ehen 3ne li}e aller behandelten braillez34en und 3n sa4regi}er zur verf8gung. d0 3nzelnen themengeb0te sind w0 folgt gegl0dert: '- z34enli}e '- regeln und erl|terungen '- b3sp0le jedes b3sp0l er53nt in zw3 bzw. dr3 dar}ellungen: '- 5warz5rift =5warz5rift1sgabe= '- braille5rift '- $la$te>x-5r3bw3se 3ne 1snahme bilden d0 b3sp0le im (anhang >a#a 5riftli4e re4enverfah- ren 8ber mehrere z3len), d0 nur in braille5rift er53nen. h0r }eht neben umsetzungs- und ge}altungsm9gli4k3- zum gebr14: 1fb1 #aj ten d0 prakti5e arb3t mit der braille5rift im vordergrund. in 3nem zw3ten t3l sollen relief- dar}ellungen blinden lesenden mathe- mati5e 5warz5riftsymbole erfahrbar ma4en und d0 kommunikation mit ande- ren erl34tern. das braille5riftkomitee der d2t5- spra4igen l`nder h`lt 1f s3ner web- s3te ='$www.bskdl.org'.= 3ne unter- s3te zur braillemathematik5rift f8r das herunterladen von dokumenten und das sammeln von b3sp0len ber3t. in- teress0rte werden 3ngeladen, zur er- w3terung der b3sp0lsammlung b3zutra- gen. $la$te>x :::::::: als m9gli4k3t des vergl34s der braille5rift mit 3ner zw3ten dar}el- lung wurde f8r ta}lesende, d0 ni4t 1f d0 visuelle dar}ellung zur8ckgr3- fen k9nnen, 3ne $la$te>x-5r3bw3se gew`hlt. zum gebr14: $la$te>x #aa es kann ni4t angenommen werden, dass alle ta}lesenden $la$te>x ken- nen. und denno4 hat si4 gez3gt, dass 5on mit wenigen $la$te>x-kenntnissen zum b3sp0l fe}ge}ellt werden kann, ob 3n z34en no4 in 3nem exponenten enthalten i} oder ni4t. und gerade sol4e ungewissh3ten gilt es m9gli4} zu minim0ren, wenn d0 b3sp0le }ud0rt werden. der 3nd2tigk3t halber be}eht d0 $la$te>x-dar}ellung 1s original- $la$te>x und ni4t 1s 3ner der ver3n- fa4ten varianten, d0 zunehmend als 3ne art blindenmathematik5rift am computer verwendet werden. 1f der anderen s3te wurde k3n gro~er wert dar1f gelegt, s0 so zu 5r3ben, dass 3n $la$te>x-compiler dar1s `stheti5 3nwandfr3e 5warz5rift er}ellen k9nn- te. um das lesen der $la$te>x-1sdr8cke zu erl34tern, wurde f8r d0se #h- punkte-braille gew`hlt. zum 5nellen na45lagen verwendeter $la$te>x-5l8s- selw9rter wird 3ne 1fli}ung elektro- ni5 1f '$www.bskdl.org angeboten. zum gebr14: $la$te>x #ab d0ses regelwerk sow0 d0 1fli}ung 3g- nen si4 ni4t f8r das erlernen von $la$te>x. zum gebr14: $la$te>x #ac zum gebr14: $la$te>x #ad #a grundlegende te4niken zur 8bertragung von mathematik ============================= #a.a we4sel zwi5en text- und mathematik5rift :::::::::::::::::::::::::::: %!, ank8ndigungsz34en f8r 3ne pas- sage in mathematik5rift %'. abk8ndigungsz34en f8r 3ne pas- sage in mathematik5rift %'. ank8ndigungsz34en f8r 3ne pas- sage in text5rift %'. abk8ndigungsz34en f8r 3ne pas- sage in text5rift braillez34en und deren kombinatio- nen geben zum t3l unter50dli4e sym- bole in der text- und der mathema- tik5rift w0der. d0 kennz34nung der 8berg`nge zwi5en den b3den 5riften i} daher von gro~er bed2tung. dr3 ver50dene te4niken }ehen h0r- f8r zur verf8gung: #a-#a.a #ae '- layoutte4nik '- an- und abk8ndigungste4nik '- doppelleerz34ente4nik d0 wahl der te4nik i} kontextab- h`ngig. #a.a.a layout ::::::::::::: in dokumenten mit gro~em mathema- ti5em ant3l re4nen lesende mit ma- thematik5rift. zur kennz34nung des we4sels von der text- in d0 mathema- tik5rift gen8gt es daher oft 5on, z3len mit mathemati5em inhalt mit hilfe des layouts vom 8brigen fl0~- text abzuheben. 3ne sehr h|fig genutzte ge}al- tungsm9gli4k3t zur kennz34nung von mathematik5riftz3len sind 3n- und 1sr8ckungen. dab3 werden z3len um 3ne anzahl von formen bez8gli4 der vor1sgehenden textumgebung 3nge- r8ckt. der we4sel zur8ck zur text- 5rift erfolgt dur4 den beginn 3ner n2en z3le im textlayout. werden f8r d0 mathemati5e passage mehrere z3len #a.a-#a.a.a #af ben9tigt, i} folgendes zu bea4ten: '- d0 mathemati5e passage muss si4 von den umgebenden textpassagen d2tli4 abheben. '- d0 er}e und d0 fortsetzungsz3len sind bez8gli4 ihrer 3nr8ckung unter50dli4 zu ge}alten. w3tere ge}altungsformen sind zum b3sp0l randmark0rungen =s0he b3sp0l #a.a.a >b#jb'= oder tabellenspalten =s0he b3sp0le #a.a.a >b#jc und #a.a.a >b#jd'=. b3sp0l #a.a.a >b#ja der umre4nungsfaktor von der 3nh3t elektronvolt 'e>v in joule >j i}: #ae>v =#a>v.e' =#a>v.#a,f.#aj|-,*>c' =#a,f.#aj|-,*>j Der Umrechnungsfaktor von der Einheit Elektronvolt eV in Joule J ist: \[1 \text{eV} =1 \text{V} \cdot \text{e} =1 \text{V} \cdot 1,6 \cdot #a.a.a #ag 10^{-19} \text{C} =1,6 \cdot 10^{-19} \text{J}\] b3sp0l #a.a.a >b#jb =anm.: der anfang der mathematik- 5rift wird zus`tzli4 mit 3nem m in der linken randspalte gekennz34net.= der umre4nungsfaktor von der 3nh3t elektronvolt 'e>v in joule >j i}: m #ae>v =#a>v.e' =#a>v.#a,f.#aj|-,*>c' =#a,f.#aj|-,*>j Der Umrechnungsfaktor von der Einheit Elektronvolt eV in Joule J ist: \[1 \text{eV} =1 \text{V} \cdot \text{e} =1 \text{V} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{C} =1,6 \cdot 10^{-19} \text{J}\] b3sp0l #a.a.a >b#jc =anm.: in $la$te>x wird 1f d0 ta- bellari5e dar}ellung nur rudiment`r #a.a.a #ah hingew0sen.= satz formel ::::::::::::::::: :::::::::: d0 multiplikation a.b =b.a i} kommutativ. d0 multiplikation 2a.b`.c' i} assoziativ. =a.2b.c` d0 #a verh`lt si4 a.#a =a bez8gli4 der multiplikation n2tral. \[\text{Satz} & \text{Formel} \\ \text{Die Multiplikation ist kommutativ.} & a \cdot b =b \cdot a \\ \text{Die Multiplikation ist assoziativ.} & (a \cdot b) \cdot c =a \cdot (b \cdot c) \\ \text{Die 1 verh„lt sich bezglich der Multiplikation neutral.} & a \cdot 1 '$=A"\'.'= #a.a.a #ai b3sp0l #a.a.a >b#jd =anm.: in $la$te>x wird 1f d0 ta- bellari5e dar}ellung nur rudiment`r hingew0sen.= spezielle v0recke: bez34nung umfang fl`4eninhalt ::::::::: :::::::::: ::::::::::::: v0reck a +b +c +d ;d1,8#b<" 2h1, +h1;` trapez a +b +c +d m.h1a dra4en- #b'a +#b'b #a;.d1,d1; v0reck paralle- #b'a +#b'b a.h1a logramm rhombus #d'a ..... #a;.d1,d1; quadrat #d'a ..... a|; \[\text{Spezielle Vierecke} \\ \text{Bezeichnung} & \text{Umfang} & \text{Fl„cheninhalt} \\ \text{Viereck} & a +b +c +d & \frac{d_{1}}{2}(h_{1} +h_{2}) \\ \text{Trapez} & a +b +c +d & m \cdot h_{a} \\ \text{Drachenviereck} & 2a +2b & #a.a.a #bj \frac{1}{2}d_{1}d_{2} \\ \text{Parallelogramm} & 2a +2b & a \cdot h_{a} \\ \text{Rhombus} & 4a & \frac{1}{2}d_{1}d_{2} \\ \text{Quadrat} & 4a & a^{2}\] #a.a.b an- und abk8ndigungsz34en f8r mathematik5rift :::::::::::::::::::::::::::::::: %!, ank8ndigungsz34en f8r 3ne pas- sage in mathematik5rift %'. abk8ndigungsz34en f8r 3ne pas- sage in mathematik5rift am 3nd2tig}en werden d0 8berg`nge von der text- zur mathematik5rift und zur8ck mit an- und abk8ndigungs- z34en mark0rt. das ank8ndigungsz34en }eht unmit- telbar vor dem er}en z34en der ma- thematik5rift. 1~er am z3lenanfang geht ihm 8bli4erw3se 3n leerz34en voran. es }eht jedo4 unmittelbar hinter 3ner 9ffnenden textklammer #a.a.a-#a.a.b #ba oder 3nem anderen symbol, 1f das 14 text ohne 3n leerz34en folgen k9nn- te. das abk8ndigungsz34en }eht unmit- telbar hinter dem letzten z34en der mathematik5riftpassage. dar1f folgt 3n leer- oder satzz34en. mit dem ank8ndigungsz34en 3ngel3- tete mathematik5riftpassagen sind zwingend mit dem abk8ndigungsz34en abzu5l0~en. s0 d8rfen nur von kur- zen, mit der doppelleerz34ente4nik abgegrenzten textpassagen unterbro- 4en werden. satzz34en am ende 3ner mathemati- 5en passage geh9ren in der regel ni4t zum mathemati5en 1sdruck selb}. der 8bersi4tli4k3t halber werden s0 na4 dem abk8ndigungsz34en ge5r0ben, wo s0 den vorange}ellten punkt #f ni4t ben9tigen =s0he (#c.g satzz3- 4en)=. b3sp0l #a.a.b >b#ja =anm.: 8ber5rift 1s 3nem lehrbu4.= #a.a.b #bb #ad d0 zerlegung von !,ax|; +bx +c'. in linearfaktoren ==================== oder in kurz5rift: #ad 0 z7legu v !,ax|;' +bx +c'. * l*e)fakt?c ====================== 14 Die Zerlegung von $ax^{2} +bx +c$ in Linearfaktoren b3sp0l #a.a.b >b#jb alle kennen d0 formel !,e =mc|;'., aber nur wenige ver}ehen s0. Alle kennen die Formel $e =mc^{2}$, aber nur wenige verstehen sie. b3sp0l #a.a.b >b#jc d0 newton5e me4anik i} b3 ge5win- digk3ten im ber34 der li4tge5windig- k3t =!,c =#c.#aj|(m8s'.= ni4t mehr g8ltig. Die newtonsche Mechanik ist bei Geschwindigkeiten im Bereich der #a.a.b #bc Lichtgeschwindigkeit ($c =3 \cdot 10^{8} \frac{\text{m}}{\text{s}}$) nicht mehr gltig. #a.a.c an- und abk8ndigungsz34en f8r text5rift :::::::::::::::::::::::::::::::: %'. ank8ndigungsz34en f8r 3ne pas- sage in text5rift %'. abk8ndigungsz34en f8r 3ne pas- sage in text5rift text5rift innerhalb 3ner mathema- tik5riftpassage kann ebenfalls mit an- und abk8ndigungsz34en gekennz34- net werden. das ank8ndigungsz34en }eht unmittelbar vor dem er}en text- z34en hinter 3nem an der grenz}elle vorkommenden leerz34en. das abk8ndi- gungsz34en folgt unmittelbar 1f das letzte textz34en. in 3ner mathematikpassage }eht der text3n5ub normalerw3se im selben k8rzungsgrad =kurz-, voll- oder ba- sis5rift= w0 der 8brige 8bertragene fl0~text. #a.a.b-#a.a.c #bd d0se an- und abk8ndigungsz34en d8rfen 14 innerhalb 3ner mathematik- 5riftpassage verwendet werden, d0 ihrers3ts mit an- und abk8ndigungs- z34en abgegrenzt i}. dagegen d8rfen in 3nem mit ank8n- digungsz34en gekennz34neten text3n- 5ub k3ne mathemati5en 3n58be enthal- ten s3n. b3sp0l #a.a.c >b#ja >i1, =#aj.>i1>b '.=ri4twert='.' =#abja \[I_{1} =10 \cdot I_{B} \quad \text{(Richtwert)} =120 \text{\mu A}\] #a.a.d doppelleerz34ente4nik :::::::::::::::::::::::::::: 8berall dort, wo 3n we4sel zwi5en text- und mathematik5rift erwartet werden kann, d8rfen sehr kurze 3n58- be der jew3ls anderen 5rift mit der doppelleerz34ente4nik gekennz34net werden. #a.a.c-#a.a.d #be vor dem er}en z34en im anderen 5riftsy}em }eht 3n doppelleerz34en. der we4sel zur8ck zum vorherigen 5riftsy}em wird ern2t mit 3nem dop- pelleerz34en angez3gt. das doppel- leerz34en muss zwi5en z34en }ehen, darf also ni4t am anfang oder am en- de 3ner z3le zum 3nsatz kommen. das ende 3nes mit 3nem doppelleer- z34en 3ngel3teten 3n5ubs muss eben- falls dur4 3n doppelleerz34en ge- kennz34net werden. nur wenn 3n 3n5ub in mathematik5rift am ende 3nes ab- satzes }eht, kann 1f d0ses abk8ndi- gende doppelleerz34en verzi4tet wer- den, da 3n n2er absatz den dur4 d0 doppelleerz34ente4nik bewirkten 5riftwe4sel ohnehin 1fhebt. in der regel geh9ren satzz34en am 5luss 3ner mathemati5en passage ni4t zum mathemati5en 1sdruck. s0 d8rfen denno4 vor dem an der grenz}elle }e- henden doppelleerz34en'- wo n9tig mit punkt #f'- ge5r0ben werden =s0he (#c.g satzz34en)=. folgt 3n mathema- tik1sdruck direkt 1f 3n f8hrendes interpunktionsz34en =anf8hrungsz3- #a.a.d #bf 4en, 9ffnende klammer=, kann d0 dop- pelleerz34ente4nik ni4t angewendet werden. b3sp0l #a.a.d >b#ja d0 gl34ung x|; =#af i} na4 'x 1fzul9sen. Die Gleichung $x^{2} =16$ ist nach $x$ aufzul”sen. b3sp0l #a.a.d >b#jb basis 'a und exponent 'n 3ner potenz sind f8r a *=n i. allg. ni4t vert15bar: a|n *=n|a =b3sp0l f8r 3ne 1snahme: !,#b|/ =#d|;'.=. Basis $a$ und Exponent $n$ einer Potenz sind fr $a \neq n$ i. allg. nicht vertauschbar: $a^{n} \neq n^{a}$ (Beispiel fr eine Ausnahme: $2^{4} =4^{2}$). b3sp0l #a.a.d >b#jc damit i} a|n f8r alle ganzzah- ligen exponenten =!,n &e>g'.= defi- #a.a.d #bg n0rt, allerdings f8r n 9=#j mit der 3n5r`nkung a *=#j =denn f8r a =#j w8rden d0 definitionen f8r a|-n und !,a|)'.'- wegen !,a|) =a|n"-n'.'- 1f divisionen dur4 null f8hren=. Damit ist $a^{n}$ fr alle ganzzahligen Exponenten ($n \in G$) definiert, allerdings fr $n \leq 0$ mit der Einschr„nkung $a \neq 0$ (denn fr $a =0$ wrden die Definitionen fr $a^{-n}$ und $a^{0}$ - wegen $a^{0} =a^{n -n}$ - auf Divisionen durch Null fhren). b3sp0l #a.a.d >b#jd unter 3a 2a o=#j` ver}ehen wir ... Unter $\sqrt{a} \; (a \geq 0)$ verstehen wir ... b3sp0l #a.a.d >b#je alle kennen ja d0 for- mel e =mc|;', aber nur wenige #a.a.d #bh ver}ehen s0. Alle kennen ja die Formel $e =mc^{2}$, aber nur wenige verstehen sie. #a.a.e hinw3se zum 3nsatz der 5riftwe4selte4niken ::::::::::::::::::::::::::::: f8r lesende muss immer klar er- kennbar s3n, ob s0 gerade d0 text- oder mathematik5rift lesen. f8r d0 wahl der jew3ls ge3gneten te4nik gelten folgende 8berlegungen und prinzipien: '- d0 an- und abk8ndigungsz34en mar- k0ren den 5riftwe4sel 3nd2tig. '- 3ne mit dem ank8ndigungsz34en 3n- gel3tete mathematik5riftpassage muss mit dem abk8ndigungsz34en beendet werden. '- layoutte4niken grenzen elegant und klar den geltungsber34 der jew3ligen 5rift ab. '- d0 doppelleerz34ente4nik 3gnet si4 1sdr8ckli4 nur f8r sehr kurze 3n58be'- m9gli4} ohne z3lenumbr8- #a.a.d-#a.a.e #bi 4e. '- wenn 3ne mathemati5e passage mit 3nem anf8hrungsz34en oder 3ner textklammer beginnt, darf s0 ni4t mit der doppelleerz34ente4nik an- gek8ndigt werden. '- in der regel geh9ren satzz34en am 5luss 3ner mathemati5en passage ni4t zur passage selb}. s0 sind daher unmittelbar re4ts vom ab- k8ndigungsz34en %'. zu setzen. wenn d0 abk8ndigung dur4 doppel- leerz34en erfolgt, werden s0 je- do4 vor d0sen =gegebenenfalls mit punkt #f'= ge5r0ben, damit s0 ni4t all3n }ehen. '- 3n kurzer mathemati5er 1sdruck am ende 3nes textabsatzes kann mit der doppelleerz34ente4nik 3ngel3- tet werden. das absatzende kenn- z34net gl34z3tig 14 das ende des 3n5ubes. ab5l0~ende satzz34en werden unmittelbar na4 dem mathe- mati5en 1sdruck ge5r0ben und gegebenenfalls mit 3nem voran- ge}ellten punkt #f versehen. '- 8bli4erw3se werden text3n58be in #a.a.e #cj mathemati5en passagen im selben k8rzungsgrad w0 der uml0gende text ge5r0ben. '- 3nzelne oder wenige w9rter in ma- themati5en passagen =zum b3sp0l (und), (daher), (es gilt)= k9nnen in basis5rift =mit kennz34nung der gro~5r3bung= ge5r0ben werden, ohne d0 mathematik5rift zu ver- lassen =s0he (#c.h text in der mathematik5rift)=. es i} zwi5en dem vort3lhaften verzi4t 1f den 5riftwe4sel und 3nem eventuell }9renden }ilbru4, vor allem in kurz5rifttexten, abzuw`gen. vor- si4t i} b3 uml1tbu4}aben und ~ geboten, d0 in der mathematik- 5rift als andere z34en, vor allem als bru4}ri4 und 5l0~ende klam- mer, gelesen werden k9nnen. satz- z34en m8ssen gegebenenfalls mit vorange}elltem punkt #f versehen werden. b3sp0l #a.a.e >b#ja f2-x` =-f2x` f8r alle x &e>d #a.a.e #ca oder f2-x` =-f2x` f ae x &e>d oder f2-x` =-f2x` '.f ae'. x &e>d \[f(-x) =-f(x) \; \text{fr alle} \; x \in D\] #a.b trennen und zusammenhalten mathemati5er 1sdr8cke ::::::::::::::::::::::::::::::: %' z3lentrennz34en an der }elle 3nes leerz34ens %" z3lentrennz34en zwi5en zw3 un- mittelbar bena4barten z34en %" zusammenhaltepunkt in der 5warz5rift }eht in der re- gel jeder mathemati5e (satz) all3n 1f 3ner z3le. 3nen trenn}ri4 zur kennz34nung 3nes mathemati5en z3len- umbru4s gibt es in der 5warz5rift ni4t. in der braille5rift nimmt 3n ma- themati5er (satz) oftmals mehr als #a.a.e-#a.b #cb nur 3ne z3le 3n. daher wird 3n z34en ben9tigt, das 1f d0 fortsetzung in der n`4}en z3le 1fmerksam ma4t. das setzen von leerz34en in der braillemathematik5rift erfolgt ni4t willk8rli4. i} 3n z3lenumbru4 not- wendig, wird zwi5en zw3 f`llen unter50den: '- wird 3n mathemati5er 1sdruck an der }elle 3nes leerz34ens umge- bro4en, i} als z3lentrennz3- 4en %' =punkt #f'= zu setzen. '- wird der 1sdruck zwi5en zw3 un- mittelbar an3nander an5l0~ende z34en umgebro4en, i} %" =punkt #d'= als (zusammenhaltendes) trennz34en zu setzen. in zw3 w3teren f`llen werden z34en mit %" =punkt #d'= gewisserma~en zusammengehalten: '- k9nnten zw3 bena4barte z34en mit jew3ls 3genen bed2tungen gem3nsam als 3n w3teres z34en mit n2er be- d2tung gelesen werden, wird %" =punkt #d'= zwi5en d0 b3den ge- setzt, solange k3ne bessere l9- #a.b #cc sung zur verf8gung }eht =s0he b3- sp0le #e >b#aj und #ad.b >b#jf'=. '- in situationen, in denen 3n leer- z34en obligatori5 i}, den 1sdruck aber 1s3nanderr3~en w8rde, kann %" =punkt #d'= an}elle des leerz34ens gesetzt werden. vor allem b3 projektiven und br84en, aber 14 in matrizen wird d0se te4nik verwendet. %" =punkt #d'= in d0sen funktio- nen i} ni4t mit dem punkt #d zu ver- we4seln, der fe}er be}andt3l 3niger symbole'- zum b3sp0l %"e =2ro= oder %") =grad-z34en='- i} oder vor 3nem bu4}aben als akzentz34en }eht. #a.c anmerkungen zur braille5rift8bertragung :::::::::::::::::::::::::::: %'<= 9ffnende und 5l0~ende klammer f8r anmerkungen zur braille- 5rift8bertragung #a.b-#a.c #cd wenn 3gens f8r das in braille5rift umzusetzende werk der z34enbe}and erw3tert wurde oder typografi5e be- sonderh3ten darge}ellt oder erkl`rt werden m8ssen, i} es notwendig, an- merkungen zur braille5riftte4ni5en w0dergabe der vorlage anzubringen. ebenfalls sollte 1f d0 1fl9sung von tabellen oder d0 verbalis0rung bzw. das weglassen von abbildungen hinge- w0sen werden. anmerkungen, wel4e d0 ganze 8ber- tragung des werkes betreffen, werden in 3nem 3genen ab5nitt oder kapitel mit entspre4ender 8ber5rift am an- fang des werkes bzw. jedes bandes des braillebu4es zusammengefasst. h0r werden d0 3ngef8hrten z34en in 3ner li}e 1fgef8hrt. gilt d0 anmerkung nur f8r 3nzelne passagen im werk, wird d0se in den klammern f8r anmerkungen zur braille5rift8bertragung an der jew3- ligen }elle 3ngef8gt. somit werden s0 ni4t als text der 5warz5riftvor- lage gelesen. #a.c #ce d0 anmerkungen zur braille5rift- 8bertragung'- sowohl in 3nem 3genen ab5nitt als 14 in klammern'- werden in dem k8rzungsgrad w0 der 8brige text ge5r0ben. s0he b3sp0le #f.c >b#ja und #ad.c >b#jg. #a.c #cf #b ziffern und zahlen ===================== #b.a arabi5e ziffern und zahlen ::::::::::::::::::::::::::::::: d0 mathematik5rift verf8gt 8ber zw3 dar}ellungsformen f8r d0 arabi- 5en ziffern: '- }andard5r3bw3se '- gesenkte 5r3bw3se in der }andard5r3bw3se werden zif- fern mit denselben braillez34en w0 d0 lat3ni5en bu4}aben a bis j gebil- det. von d0sen unter53den s0 si4 dur4 das voran}ellen des zahlz34ens. d0 ziffern der gesenkten 5r3bw3se be}ehen 1s braillez34en, in denen d0 punkte 3ne r3he t0fer als in der }andard5r3bw3se gesetzt sind. 14 d0- se braillez34en sind mit mehreren bed2tungen belegt und }ellen nur in be}immten kontexten ziffern dar. #b-#b.a #cg #b.a.a zahlen in }andard5r3bw3se :::::::::::::::::::::::::::::::: %# zahlz34en %a ziffer 3ns %b ziffer zw3 %c ziffer dr3 %d ziffer v0r %e ziffer f8nf %f ziffer se4s %g ziffer s0ben %h ziffer a4t %i ziffer n2n %j ziffer null in der mathematik5rift be}eht 3ne arabi5e zahl grunds`tzli4'- w0 in der text5rift 14'- 1s dem zahlz34en und 3ner oder mehreren ziffern. d0s wird als }andard5r3bw3se bez34net. na4 dem zahlz34en %# }ellen d0 braillez34en der bu4}aben a bis j d0 ziffern #a bis #i und #j dar, und zwar grunds`tzli4 bis zum n`4}en leerz34en, z3lenende oder }ri4 bzw. anderen satzz34en =wob3 das dezimal- komma und der dezimalpunkt nat8rli4 ni4t als satzz34en gelten=. #b.a.a #ch d0 wirkung des zahlz34ens er}reckt si4 8ber: '- d0 ziffern =in der }andard- oder gesenkten 5r3bw3se= '- das dezimaltrennz34en %, '- das gl0derungsz34en %. '- d0 9ffnende klammer %2 b3 der w0dergabe von periodi5en dezimal- br84en =s0he (#b.a.d periodi5e dezimalbr84e)= '- d0 ank8ndigung f8r 3ne besondere typografi5e 1sz34nung %! '- den apo}roph %' bzw. den }ri4 %- unmittelbar hinter dem zahlz34en 1fgehoben wird d0 wirkung des zahlz34ens dur4 jedes andere z34en sow0 '- 3n leerz34en '- das z3lenende'- 1~er b3 z3len- trennung mit punkt #d %" jede art von }ri4 =zum b3sp0l bin- de- oder 5r`g}ri4= hebt d0 wirkung des zahlz34ens 1f, so dass zahlen na4 d0sem }ets 3n n2es zahlz34en be- #b.a.a #ci n9tigen. 3ne 1snahme bilden }ri4e im an5luss an zahlz34en, d0 in pr3san- gaben an}elle 3ner null vor dem de- zimalz34en }ehen. 3ne zahl i} nur dann am z3lenende zu trennen, wenn d0s unverm3dli4 i}, zum b3sp0l, wenn d0 l`nge der zahl d0 gesamte z3lenbr3te 8ber5r3tet. 3n apo}roph, der d0 }elle von f8h- renden ziffern ersetzt, }eht im an- 5luss an das zahlz34en vor der er}en ziffer =s0he b3sp0l #b.a.a >b#jd'=. hinw3s: den ziffern in }andard5r3bw3se geht grunds`tzli4 3n zahlz34en vor- 1s. es kann jedo4 sinnvoll s3n, z.b. in 5riftli4en re4enverfahren, das zahlz34en von den ziffern etwas weg- zur8cken oder g`nzli4 dar1f zu ver- zi4ten, um d0 8bersi4tli4k3t zu wah- ren =s0he (anhang >a#a 5riftli4e re- 4enverfahren 8ber mehrere z3len)=. b3sp0l #b.a.a >b#ja #c #b.a.a #dj \[3\] b3sp0l #b.a.a >b#jb #bde \[245\] b3sp0l #b.a.a >b#jc #ac':#bg-#ad':#ac $uhr \[13:27-14:13 \; \text{Uhr}\] b3sp0l #b.a.a >b#jd #'je \['05\] #b.a.b zahlen in gesenkter 5r3bw3se :::::::::::::::::::::::::: %, ziffer 3ns %; ziffer zw3 %: ziffer dr3 %/ ziffer v0r %? ziffer f8nf %+ ziffer se4s %= ziffer s0ben %( ziffer a4t #b.a.a-#b.a.b #da %* ziffer n2n %) ziffer null im an5luss an 3nige z34en der ma- thematik5rift k9nnen ganze zahlen ohne zahlz34en in gesenkter 5r3bw3se ge5r0ben werden. dadur4 wird der 1s- druck um 3n z34en k8rzer. zudem kann d0 funktion der zahl in 3nem kompak- ten mathemati5en 1sdruck l34ter ge- d2tet werden. d0 gesenkte 5r3bw3se wird f8r nen- ner von 3nfa4en zahlenbr84en'- 14 b3 gemi5ten zahlen'- sow0 b3 projekti- ven w0 exponenten, oberen und unte- ren indizes verwendet =s0he (#i.a zahlenbr84e und gemi5te zahlen) und (#aj.c indizes und exponenten)=. 3ner zahl in gesenkter 5r3bw3se darf in exponenten, indizes u.`., aber ni4t in zahlenbr84en, 3n minus- z34en vor1sgehen. 14 in d0sen f`llen i} das zahlz34en ni4t notwendig. zahlen mit dezimaltrenn- bzw. gl0de- rungsz34en d8rfen hingegen ni4t ge- senkt ge5r0ben werden. #b.a.b #db in der text5rift kann d0 gesenkte 5r3bw3se als 3ne w3tere m9gli4k3t f8r kurzformen von zahlengef8gen w0 ordnungszahlen, dezimalklassifikato- ren und datumsangaben genutzt wer- den. d0se 5r3bw3sen d8rfen ebenfalls in der mathematik5rift 3ngesetzt werden. b3sp0l #b.a.b >b#ja #a: =#d,; \[\frac{1}{3} =\frac{4}{12}\] b3sp0l #b.a.b >b#jb ;x|; 8 x|:< =x|-, \[\frac{x^{2}}{x^{3}} =x^{-1}\] b3sp0l #b.a.b >b#jc e|#b,cjbe ??#aj \[e^{2.3025} \approx 10\] #b.a.b #dc #b.a.c dezimalbr84e ::::::::::::::::::: %, dezimaltrennz34en =komma= in 1snahmef`llen =s0he na4folgende erl|terungen= %. dezimaltrennz34en =punkt= in dezimalbr84en wird das dezimal- trennz34en dur4 das dezimalkomma %, darge}ellt, gl34g8ltig, ob in der vorlage 3n komma oder 3n punkt }eht. der punkt #c %. wird als dezi- maltrennz34en verm0den, da er in der braille5rift als gl0derungsz34en f8r lange zahlen belegt i}. 3ne 1snahme bilden geldbetr`ge in 5w3zer franken und rappen. h0r kann d0 in der 5w3z 8bli4e 5r3bw3se mit dezimalpunkt in der braille5rift b3- behalten werden =s0he 14 (#b.a.e gl0derung langer zahlen)=. werden in anderen kontexten dezi- malpunkte in der vorlage verwendet und i} d0s von bed2tung, kann in 3ner braille5riftte4ni5en anmerkung dar1f hingew0sen werden. #b.a.c #dd }ri4e, d0 in geldbetr`gen an}elle 3ner oder zw3er nullen }ehen, werden dur4 das z34en punkte #c,f %- darge}ellt. b3sp0l #b.a.c >b#ja #b,cd \[2,34\] b3sp0l #b.a.c >b#jb #de,ih \[45.98\] b3sp0l #b.a.c >b#jc #-,ej \[-,50\] b3sp0l #b.a.c >b#jd #ajj,- \[100,-\] b3sp0l #b.a.c >b#je #ajj,-- \[100,--\] #b.a.c #de b3sp0l #b.a.c >b#jf =anm.: dar}ellung von 5w3zer fran- ken in der 5w3z.= $fr.#c.ej \[\text{Fr.} \; 3.50\] #b.a.d periodi5e dezimalbr84e ::::::::::::::::::::::::::::: %#...2...` periodi5er dezimalbru4 b3 periodi5en dezimalbr84en wird in der 5warz5rift d0 si4 w0derholen- de ziffernfolge 8ber}ri4en. in der braille5rift wird d0se ziffernfolge in runde klammern %2...` ohne zahlz34en gesetzt. b3sp0l #b.a.d >b#ja #j,2c` \[0,\overline{3}\] b3sp0l #b.a.d >b#jb #a,2bhegad` \[1,\overline{285714}\] #b.a.c-#b.a.d #df b3sp0l #b.a.d >b#jc #c,db2h` \[3,42\overline{8}\] #b.a.e gl0derung langer zahlen :::::::::::::::::::::::::::::: %. gl0derungsz34en d0 gl0derung langer zahlen in gruppen von #c ziffern erfolgt dur4 das gl0derungsz34en punkt #c %. ungea4tet des in der vorlage verwen- deten z34ens =punkt, leerz34en, apo}roph, komma=. b3 geldbetr`gen in 5w3zer franken und rappen wird in der regel in 5warz5rift der punkt und entspre4end in braille5rift punkt #c %. sowohl als dezimaltrenn- als 14 als gl0de- rungsz34en verwendet =s0he 14 (#b.a.c dezimalbr84e)=. d0s f8hrt |- ~er} selten zu d2tungs5w0rigk3ten, da na4 dem letzten punkt ni4t dr3, sondern nur zw3 ziffern folgen und daher als rappen zu erkennen sind. #b.a.d-#b.a.e #dg d0 in der 5warz5rift verbr3tete gl0derung langer zahlen dur4 leerz3- 4en wird ni4t 8bernommen, da das leerz34en d0 wirkung des zahlz34ens 1fhebt und d0 n2e zifferngruppe w0- derum mit 3nem zahlz34en gekennz34- net werden m8sste. ebenso i} d0 gl0derung mit apo}ro- phen =5w3z und l04ten}3n= f8r d0 braille5rift unge3gnet. der apo}roph wird mit ,demselben braillez34en w0 das ank8ndigungsz34en f8r kl3nbu4}a- ben darge}ellt, das d0 wirkung des zahlz34ens 1fhebt. b3sp0l #b.a.e >b#ja #bc.ced \[23.354\] b3sp0l #b.a.e >b#jb #a.cbd.cdb \[1\;324\;342\] b3sp0l #b.a.e >b#jc #ai.jda.ejj #b.a.e #dh \[19'041'500\] b3sp0l #b.a.e >b#jd #bf.jid.cah,gea.fbh \[26\;094\;318,751\;628\] b3sp0l #b.a.e >b#je #a.jjj \[1.000\] b3sp0l #b.a.e >b#jf #ajjj \[1000\] #b.a.f ordnungszahlen, dezimalklassifikatoren, daten und uhrz3ten :::::::::::::::::::::::::::::: d0 verbindungen 1s zahlen und in- terpunktionsz34en werden grunds`tz- li4 w0 in der vorlage ge5r0ben. dab3 i} zu bea4ten: '- 3n punkt im an5luss an oder zwi- 5en zahlen i} k3n dezimalpunkt und wird daher mit punkt #c %. #b.a.e-#b.a.f #di darge}ellt. na4 dem gl0derungs- punkt entf`llt das zahlz34en. '- in uhrz3tangaben werden doppel- punkte als interpunktionsz34en dur4 punkt #f %' angek8ndigt. '- in datumsangaben sind binde}ri4e ni4t mit punkt #f %' anzuk8ndi- gen. d0 na4folgende zahl erh`lt jedo4 3n n2es zahlz34en. b3sp0l #b.a.f >b#ja #c.e.aa \[3.5.11\] b3sp0l #b.a.f >b#jb #g.aj.d.c \[7.10.4.3\] b3sp0l #b.a.f >b#jc #bd.ab.bjaj \[24.12.2010\] b3sp0l #b.a.f >b#jd #bjaj-#ab-#bd \[2010-12-24\] #b.a.f #ej b3sp0l #b.a.f >b#je #ab.de $uhr \[12.45 \; \text{Uhr}\] b3sp0l #b.a.f >b#jf #ab':#de $uhr \[12:45 \; \text{Uhr}\] wo d0 text5rift f8r sol4e zahlen- gef8ge 3ne verk8rzende 5r3bw3se b0- tet, darf d0se ebenfalls in der ma- thematik5rift verwendet werden. b3sp0l #b.a.f >b#jg =anm.: in 1fgaben der grund5ulma- thematik, in denen 3n ergebnis 3nzu- tragen i}, wird oft 3n zahlz34en na4 dem gl34h3tsz34en gesetzt. dadur4 wird unter anderem das gl34h3tsz34en besser von 3nem g unter53dbar.= #, #b +#c =# #; #a +#d =# \[1. \quad 2 +3 = \\ 2. \quad 1 +4 =\] #b.a.f #ea b3sp0l #b.a.f >b#jh #:e,, \[3.5.11\] b3sp0l #b.a.f >b#ji #;/ab#bjaj \[24.12.2010\] #b.b r9mi5e zahlen :::::::::::::::::: %i r9mi5e ziffer 3ns %v r9mi5e ziffer f8nf %x r9mi5e ziffer zehn %l r9mi5e ziffer f8nfzig %c r9mi5e ziffer hundert %d r9mi5e ziffer f8nfhundert %m r9mi5e ziffer t1send r9mi5e zahlen werden als bu4}a- ben'=folgen= ge5r0ben. als gro~- bu4}aben sind s0 demna4 }ets mit %> anzuk8ndigen. als kl3nbu4}aben ge- 5r0ben bed8rfen s0 in der mathema- tik5rift h|fig k3ner ank8ndigung #b.a.f-#b.b #eb =s0he (#c.b gro~- und kl3n5r3bung lat3ni5er bu4}aben)=. 8ber}ri4ene r9mi5e zahlen, d0 ge- legentli4 f8r mehrfa4e von t1send verwendet werden, vers0ht man mit 3nem }ri4 als obere mark0rung =s0he (#h 3nfa4e und zusammenfassende mar- k0rungen)=. b3sp0l #b.b >b#ja >i', >iv', >mdcccxxv \[\text{I, IV, MDCCCXXV}\] b3sp0l #b.b >b#jb i', xvi \[\text{i, xvi}\] b3sp0l #b.b >b#jc >x: =#aj.jjj \[\text{\overline{X}} =10\;000\] b3sp0l #b.b >b#jd $:>iv =#djjj \[\text{\overline{IV}} =4000\] #b.b #ec #b.b #ed #c bu4}aben und satzz34en ========================= #c.a vorbemerkung zur kennz34nung von bu4}aben ::::::::::::::::::::::::::::: ank8ndigungsz34en %' kl3nbu4}aben %> 3n oder mehrere gro~bu4}aben %$ 3n gro~bu4}abe, gefolgt von 3nem oder mehreren kl3nbu4}aben %< gr04i5e bu4}aben %! #, besondere typografi5e 1sz34- nung % #; besondere typografi5e 1sz34- nung ohne kennz34nung sind alle bu4}a- ben in der mathematik5rift lat3ni5e kl3nbu4}aben in ihren modernen 5riftformen. lat3ni5e gro~bu4}aben und fremde bzw. typografi5 spezielle bu4}aben m8ssen entspre4end gekenn- z34net werden. #c-#c.a #ee #c.b gro~- und kl3n5r3bung lat3ni5er bu4}aben :::::::::::::::::::::::::: ank8ndigungsz34en %' kl3nbu4}aben %> 3n oder mehrere gro~bu4}aben %$ 3n gro~bu4}abe, gefolgt von 3nem oder mehreren kl3nbu4}aben in der mathematik5rift i} d0 gro~- und kl3n5r3bung von bu4}aben sehr ent53dend f8r deren bed2tung. es muss daher unbedingt 1f 3nd2tigk3t gea4tet werden. grunds`tzli4 i} f8r lat3ni5e kl3n- bu4}aben in der mathematik5rift k3ne ank8ndigung erforderli4. jedo4 m8s- sen s0 dort mit punkt #f %' ge- kennz34net werden, wo s0 1f grund der vorhergehenden z34en als etwas anderes ged2tet werden k9nnen, zum b3sp0l: '- bu4}aben a bis j unmittelbar na4 in }andardziffern ge5r0benen zah- len: s0 w8rden als w3tere ziffern #c.b #ef gelesen werden. '- unmittelbar na4 dem bru4endez3- 4en: das bru4endez34en i} identi5 mit dem ank8ndigungsz34en f8r gr04i5e bu4}aben. '- unmittelbar na4 mit punkten #d,e %> angek8ndigten gro~- bu4}aben: s0 k9nnten als w3tere gro~bu4}aben interpret0rt werden. alle ni4t angek8ndigten bu4}aben sind als lat3ni5e kl3nbu4}aben zu lesen. im interesse der 3nd2tigk3t wird empfohlen, kl3nbu4}aben l0ber 3nmal zu oft mit punkt #f %' als 3nmal zu wenig anzuk8ndigen. 3n gro~bu4}abe wird nur dann dur4 d0 punkte #d,f %$ angek8ndigt, wenn ihm minde}ens 3n kl3nbu4}abe folgt. son} sind 3nzelne gro~bu4}a- ben immer mit den punkten #d,e %> anzuk8ndigen. d0 wirkung der ank8ndigungsz34en f8r gro~- bzw. kl3nbu4}aben wird 1f- gehoben dur4: '- das n`4}e leerz34en #c.b #eg '- das z3lenende'- 1~er b3m z3len- trennz34en punkt #d %" '- das n`4}e 1~eralphabeti5e braille5riftz34en jegli4er art b3sp0l #c.b >b#ja #aj'a', #ajk', #en', #c>b \[10a, 10k, 5n, 3B\] b3sp0l #c.b >b#jb !{>abcd', >efgh', >ijkl!} \[\{ABCD, EFGH, IJKL\}\] b3sp0l #c.b >b#jc >abc'd \[ABCd\] b3sp0l #c.b >b#jd $ab$cd \[AbCd\] b3sp0l #c.b >b#je l9sungsmenge >l1>a L”sungsmenge $L_{A}$ #c.b #eh b3sp0l #c.b >b#jf ;#a +n 8 #e<'x \[\frac{1 +n}{5}x\] #c.c gr04i5e bu4}aben ::::::::::::::::::::: ank8ndigungsz34en %< gr04i5e bu4}aben d0 gr04i5en bu4}aben in der mathematik5rift %a alpha %b beta %g gamma %d delta %e epsilon %z zeta %j eta %h theta %i iota %k kappa %l lambda %m my %n ny #c.b-#c.c #ei %x xi %o omikron %p pi %r rho %s sigma %t t1 %u ypsilon %f phi %c 4i %y psi %w omega %v digamma %q koppa d0 bu4}aben des gr04i5en alphabets werden mit denselben braille5riftz3- 4en w0 d0 des lat3ni5en alphabets ge5r0ben. daher m8ssen gr04i5e bu4}aben 1sdr8ckli4 als sol4e ge- kennz34net werden. gr04i5e kl3nbu4}aben werden dur4 das z34en %< angek8ndigt. b3 gr0- 4i5en gro~bu4}aben wird zus`tzli4 d0 ank8ndigung f8r gro~5r3bung %> bzw. %$ zwi5en d0sem z34en und dem er}en bu4}aben gesetzt. #c.c #fj d0 ank8ndigung f8r gr04i5e bu4}a- ben gilt f8r 3ne ank8ndigung der gro~5r3bung dur4 punkte #d,e %> bzw. punkte #d,f %$ und f8r alle bu4}aben bis: '- zum n`4}en leerz34en oder z3len- ende'- 1~er b3m z3lentrennz3- 4en %" bzw. '- zum n`4}en 1~eralphabeti5en braille5riftz34en jegli4er art. na4 3ner folge von gr04i5en bu4}a- ben l3ten daher d0 ank8ndigungen f8r gro~- bzw. kl3nbu4}aben %> oder %$ bzw. %' 3nen we4sel zu lat3ni5en bu4}aben 3n. falls inner- halb 3ner folge von gr04i5en bu4}a- ben 3ne ank8ndigung f8r gro~- bzw. kl3nbu4}aben notwendig wird, muss d0 ank8ndigung f8r gr04i5e bu4}aben %< w0derholt werden. hinw3s: das fr8here ank8ndigungsz34en f8r gr04i5e gro~bu4}aben % wird ni4t mehr angewendet. #c.c #fa b3sp0l #c.c >b#ja $winkel b#jb d0 summe der winkel b#jc b#jd v =;#bt< \[v =\frac{2\pi r}{T}\] b3sp0l #c.c >b#je >a1>o =b#jf e|"+2b#jg =anm.: f8r d0 5r3bw3se des gro~- bu4}abens delta als differenzz34en s0he (#c.e bu4}aben`hnli4e symbo- le).= >p =;&d>e 8 &d't<' =;&d>w 8 &d't< \[P =\frac{\Delta E}{\Delta t} =\frac{\Delta W}{\Delta t}\] b3sp0l #c.c >b#jh b#ji >f1>w =#a;c1 oder %$ bzw. %' =gro~- und kl3n5r3bung='- bzw. kombinationen davon'- und f8r alle bu4}aben bis: '- zum n`4}en leerz34en '- zum z3lenende'- 1~er b3m z3len- trennz34en %" '- zum n`4}en 1~eralphabeti5en braille5riftz34en jegli4er art d0 ank8ndigungsz34en d8rfen 14 vor anderen z34en der braille5rift }e- hen, denen dur4 3ne typografi5e ab- hebung andere bed2tungen zukommen. in d0sem fall gilt d0 ank8ndigung: '- vor 3nem zahlz34en f8r d0 ganze zahl '- direkt vor 3ner ziffer nur f8r d0se 3ne ziffer '- vor allen anderen symbolen ledig- li4 f8r das dar1f folgende symbol d0 ank8ndigung dur4 punkt #e %! darf ni4t b3 projektiven verwendet werden, da punkt #e d0 ver}`rkung 3nes projektivs 3nl3tet =s0he (#aj.b ver}`rkte projektive)=. des w3teren #c.d #fg i} s0 dort ni4t erl1bt, wo s0 als t3l 3nes symbols gelesen werden k9nnte. zum b3sp0l bildet 3n voran- ge}ellter punkt #e in kombination mit eckigen klammern %{ bzw. %} ni4t etwa fett gedruckte, sondern ge5w3fte klammern %!{ bzw. %!} =s0he (#f.b 3nfa4e klammern)=. d0 ank8ndigung dur4 % darf da- gegen dort ni4t verwendet werden, wo s0 mit dem er}en t3l 3ner unteren zusammenfassenden mark0rung verwe4- selt werden k9nnte =s0he (#h.b zu- sammenfassende mark0rungen)=. d0 ank8ndigung dur4 punkte #d,e,f % i} direkt vor 3ner 3n- zelnen ziffer 3ner zahl ni4t zul`s- sig, um verwe4slungen mit der ank8n- digung 3ner 3nh3t vorzub2gen. wird ledigli4 3n t3l 3nes 1sdrucks hervorgehoben, damit in 3ner erl|te- rung dar1f 3ngegangen werden kann, empf0hlt si4 d0 te4nik der horizon- talen zusammenfassungen =s0he (#ae.b horizontale zusammenfassungen und l0gende klammern)=. f8r hervorzuhe- bende klammerpaare k9nnen d0 spe- #c.d #fh ziellen braille5riftklammern verwen- dung finden =s0he (#f.c spezielle braille5riftklammern)=. b3sp0l #c.d >b#ja w0 l1ten der vektor !v:, und d0 }recke !>ab'? Wie lauten der Vektor $\vec{\mathbf{v}}$ und die Strecke $\mathbf{AB}$? b3sp0l #c.d >b#jb !#dbbf oder #dbbf \[\mathbf{4226}\] b3sp0l #c.d >b#jc #a!bc!de', #ce!f!f \[1\mathbf{2}3\mathbf{4}5, \; 35\mathbf{66}\] #c.d #fi b3sp0l #c.d >b#jd $:,!>ab \[\vec{\mathbf{AB}}\] b3sp0l #c.d >b#je $$:,>f1>g$5 \[\vec{\mathbf{F}_{\mathbf{G}}}\] b3sp0l #c.d >b#jf :!>ab', $:!>a1,!>b1,$5 \[\underline{\mathbf{AB}}, \; \underline{\mathbf{A}_{1} \mathbf{B}_{1}}\] #c.e bu4}aben`hnli4e symbole :::::::::::::::::::::::::::: %&d gro~es delta als differenzz3- 4en %&s summenz34en %&p produktz34en %&e i} element von %"d rundes d =f8r partielle abl3- tung= #c.d-#c.e #gj %"h h-quer, reduz0rte planck5e kon}ante %"p w3er}ra~5es p %$$n menge der nat8rli4en zahlen %$$z menge der ganzen zahlen %$$q menge der rationalen zahlen %$$r menge der reellen zahlen %$$c menge der komplexen zahlen %$$h menge der quaternionen %$$p projektive gerade f8r v0le mathemati5e symbole, de- ren formen in der 5warz5rift 1f 3n- zelne bu4}aben zur8ckgehen, d0 aber ni4t mit d0sen bu4}aben identi5 sind, gibt es 3gene braille5riftsym- bole. so haben d0 symbole f8r summe und produkt in der 5warz5rift d0 form der gr04i5en gro~bu4}aben sigma und pi. s0 werden in der braille5rift 1fgrund ihrer gr9~e jedo4 ni4t w0 d0se bu4}aben behandelt, sondern je- w3ls mit dem f8r s0 fe}gelegten sym- bol %&s f8r summe und %&p f8r produkt ge5r0ben =s0he (#aa.a funk- tionen)=. #c.e #ga d0 reduz0rte planck5e kon}ante =14 als (h-quer) bekannt= wird in der 5warz5rift dur4 3n dur4ge}ri4enes kl3nes h, in der braille5rift dur4 d0 fe}e z34enfolge %"h abgebildet. analog wird b3 partiellen abl3tungen das in der 5warz5rift ge5wungene kl3ne d in der braille5rift mit %"d w0dergegeben. 14 d0 mit doppel}ri4en gez34neten gro~bu4}aben f8r d0 }andardmengen werden in der braille5rift dur4 3ge- ne, jew3ls 1s dr3 braillez34en be}ehende symbole w0dergege- ben: %$$n f8r nat8rli4e zah- len, %$$z f8r ganze zahlen, %$$q f8r rationale zahlen usw. und gelten als 1~eralphabeti5e symbole =s0he b3sp0l #ab >b#ji'=. b3 bedarf k9nnen w3tere symbole na4 d0sem mu}er ge- bildet werden. d0 n259pfung muss in den vorbemerkungen oder den anmer- kungen zur braille5rift8bertragung erl|tert werden =s0he (#a.c anmer- kungen zur braille5rift8bertra- gung)=. #c.e #gb dagegen i} der gr04i5e kl3nbu4}abe pi ni4t von den anderen gr04i5en kl3nbu4}aben zu unter53den und i} entspre4end den regeln f8r d0 dar}ellung gr04i5er bu4}aben zu be- handeln =s0he (#c.c gr04i5e bu4}a- ben)=. b3sp0l #c.e >b#ja "h =h8#b

b#jb $$n =!{#a',#b',#c',#d',#e'," ...!}'; $$n1) =!{#j',#a'," #b',#c',#d',#e',...!} \[\mathbb{N} =\{1,2,3,4,5,...\}; \; \mathbb{N}_{0} =\{0,1,2,3,4,5,...\}\] b3sp0l #c.e >b#jc t2;"d|; un- mittelbar na4 dem 5l8sselz34en zu setzen. das kurzwort muss von dar1f- folgenden argumenten usw. dur4 3n leerz34en oder 3n ank8ndigungsz34en =zahlz34en, kl3n5r3bz34en o.`.= ab- gegrenzt werden. es l0gt im ermessen des 8bertra- genden oder 5r3benden, kurzw9rter, f8r d0 3gene, mit dem z34en %6 be- ginnende symbole exi}0ren, ebenso zu 5r3ben. das 5l8sselz34en %7 findet 14 f8r d0 3nl3tung ver50dener geometri- 5er symbole verwendung =s0he (#ad.a geometri5e symbole)=. in d0sen sym- bolen folgt 1f das 5l8sselz34en je- do4 n0 3n bu4}abe. #c.f #ge b3sp0l #c.f >b#ja #aj 7mod #h =#b \[10 \; \text{mod} \; 8 =2\] b3sp0l #c.f >b#jb #a 7>or #a =#a aber' #a 7>xor #a =#j \[1 \; \text{OR} \; 1 =1 \; \text{aber} \; 1 \; \text{XOR} \; 1 =0\] b3sp0l #c.f >b#jc =anm.: f8r d0 8bli4e dar}ellung s0he b3sp0l #ad.b >b#ja'= 7sin#cj") =#j,e \[\sin 30^{\circ} =0,5\] b3sp0l #c.f >b#jd 6l1,)'x =6l'x oder 7log1,)'x =7lg'x \[\log_{10}x =\lg x\] #c.f #gf #c.g satzz34en :::::::::::::: %' ank8ndigungsz34en f8r satzz34en kommen in der mathematik5rift satzz34en vor, muss ihnen der punkt #f %' vorange}ellt werden, um s0 von anderen symbolen zu unter53den. der satzpunkt %. sow0 der gedan- ken}ri4 %'- sind h0rvon 1sgenom- men, da k3ne verwe4slungsgefahr be}eht. 14 klammern der text5rift wird der punkt #f vorange}ellt. runde text- klammern %= er53nen somit jew3ls mit 3nem punkt #f. obwohl b3 eckigen textklammern %'= 3n punkt #f be- r3ts be}andt3l des symbols i}, m8s- sen s0 mit 3nem w3teren punkt #f an- gek8ndigt werden =s0he (#f.f text- klammern in der mathematik)=. #c.g #gg #c.h text in der mathematik5rift :::::::::::::::::::::::::::::::: f8r text3n58be in mathemati5en passagen wird in der regel in d0 text5rift gewe4selt. denno4 d8rfen 3nzelne w9rter und kurze phrasen ge- 5r0ben werden, ohne d0 mathematik- 5rift zu verlassen. dann muss basis- 5rift verwendet werden. in der ma- thematik5rift wird d0 gro~5r3bung grunds`tzli4 gekennz34net, so 14 b3 w9rtern. dagegen wird b3 3nem 5rift- we4sel zur text5rift d0 gro~5r3bung w0 im 8brigen text gehandhabt. normalerw3se geht dem text 3n leerz34en vor1s. d0s sorgt in der regel daf8r, dass er ni4t zum b3sp0l mit variablen verwe4selt werden kann. d0 d2t5en bu4}aben `, 9, 8 und ~ werden mit braillez34en ge5r0ben, d0 ebenfalls mathemati5e symbole oder t3le davon abbilden. sofern es si4 um kl3nbu4}aben handelt, m8ssen s0 in kriti5en situationen mit punkt #f %' versehen werden. #c.h #gh solange d0 mathematik5rift ni4t verlassen wird, bedarf es b3m z3len- umbru4 vor oder na4 3nem wort 3nes z3lentrennz34ens =s0he (#a.b trennen und zusammenhalten mathemati5er 1s- dr8cke)=. f8r satzz34en gelten d0 in der ma- thematik5rift 8bli4en regeln. s0 sind daher in den m3}en f`llen mit vorangehendem punkt #f %' zu kenn- z34nen =s0he (#c.g satzz34en)=. b3sp0l #c.h >b#ja a o=#j', n',z &e$$n und' n *=#a \[a \geq 0, \; n,z \in \mathbb{N} \; \text{und} \; n \neq 1\] b3sp0l #c.h >b#jb &s>f =#j ==o v =konstant \[\sum F =0 \Rightarrow v =\text{konstant}\] #c.h #gi b3sp0l #c.h >b#jc f2x` =;$kraft 8 beschleunigte' $masse< =;>f 8 m< \[f(x) =\frac{\text{Kraft}} {\text{beschleunigte Masse}} =\frac{F}{m}\] #c.h #hj #d 3nh3ten ========== #d.a kennz34nung von 3nh3tensymbolen :::::::::::::::::::: % kennz34en f8r 3nh3tensymbole 3nh3tensymbolen wird das 3nh3ten- kennz34en % unmittelbar voran- ge}ellt. es i} unerhebli4, ob s0 e4- te ma~3nh3ten w0 meter oder hilfs3n- h3ten w0 prozent dar}ellen. bilden mehrere 3nh3ten 3nen 3nh3- tenkomplex, bedarf es nur 3nes kenn- z34ens, solange der komplex ni4t dur4 leerz34en oder werte unterbro- 4en wird. bez0ht si4 3ne 3nh3t direkt 1f 3nen wert, wird s0 mit dem voran- ge}ellten kennz34en unmittelbar an d0sen ange5lossen. leerz34en in 3ner 5warz5riftvorlage werden h0r igno- r0rt. #d-#d.a #ha d0 kennz34nung von 3nh3ten ersetzt d0 typografi5en mittel, d0 der 5warz5rift zur unter53dung der va- riablen von 3nh3ten- und funktions- symbolen zur verf8gung }ehen. um 3ner m9gli4en verwe4slungsgefahr ver50dener symboltypen vorzub2gen, bed0nt si4 d0 5warz5rift'- vom le- senden oft nur unbewusst wahrgenom- men'- druckte4ni5er f3nh3ten. typi5e visuelle kennz34nungsmerkmale sind gerade gesetzte bu4}aben f8r 3nh3ten und kursive f8r variablen'- oder 14 3n leerz34en =voll oder halb= vor 3nh3tensymbolen, aber ni4t vor va- riablen. b3sp0l #d.a >b#ja #j,cl =#cjjml \[0,3 \text{l} =300 \text{ml}\] b3sp0l #d.a >b#jb #a>h =#a>v.s8>a \[1 \text{H} =1 \frac{\text{V} \cdot \text{s}}{\text{A}}\] #d.a #hb #d.b prozent, promille :::::::::::::::::::::: %#j) prozent %#j)) promille b3sp0l #d.b >b#ja #bj#j) von #eakm \[20\% \; \text{von} \; 51 \text{km}\] b3sp0l #d.b >b#jb #g#j)) \[7 \permil\] #d.c winkel- und temperaturma~e ::::::::::::::::::::::::::::::: %") grad =kringel= %"* minute =}ri4= %"** sekunde =doppel}ri4= %rad radiant =rad= %rad|; quadratradiant #d.b-#d.c #hc b3sp0l #d.c >b#ja #abj") \[120^{\circ}\] b3sp0l #d.c >b#jb 6a#ij") =b#jc #bj")#e"*#aj"** oder #bj") #e"* #aj"** \[20^{\circ} \; 5' \; 10''\] #d.d 3nh3tensymbole 1s bu4}aben ::::::::::::::::::::::::::::::: %" akzentz34en 1sgew`hlte 3nh3tensymbole 1s bu4}a- ben %m ...... meter %cm ..... zentimeter %mm ..... millimeter #d.c-#d.d #hd %v ..... volt %>mv .... megavolt %m>a .... milliampere %w ... mikrowatt %<>w .... ohm %k<>w ... kiloohm %$hz .... hertz %k$hz ... kilohertz %e>v .... elektronenvolt %$me>v oder %>m'e>v megaelektronenvolt %s ...... sekunde %sec .... sekunde %min .... minute %>"a .... "ang}r9m d0 bu4}aben, d0 das 3nh3tensymbol bilden, werden im an5luss an das kennz34en f8r 3nh3ten na4 den 8bli- 4en regeln ge5r0ben =s0he (#c bu4}a- ben und satzz34en)=. i} 3n bu4}abe mit akzent be}andt3l 3nes 3nh3tensymbols, wird d0ser dur4 punkt #d %" und den grundbu4}aben darge}ellt. #d.d #he b3sp0l #d.d >b#ja #aatm =#aja,cbek$pa \[1 \text{atm} =101,325 \text{kPa}\] b3sp0l #d.d >b#jb #a$hz =#as|-, \[1 \text{Hz} =1 \text{s}^{-1}\] b3sp0l #d.d >b#jc #a>"a =#ajjpm =#aj|-,)m \[1 \AA =100 \text{pm} =10^{-10} \text{m}\] b3sp0l #d.d >b#jd #a<>w =#aj|*;cm8s< oder #a<>w =#aj|*cm8s \[1 \Omega =10^{9} \frac{\text{cm}}{\text{s}}\] b3sp0l #d.d >b#je #a>a =#a;>c8s< =#a>c.s|-, oder #a>a =#a>c8s =#a>c.s|-, #d.d #hf \[1 \text{A} =1 \frac{\text{C}}{\text{s}} =1 \text{C} \cdot \text{s}^{-1}\] b3sp0l #d.d >b#jf $kapazit`t1min =;#aes 8 #b<>w<' =#g,e;s8<>w< =#g,e>f oder $kapazit`t1min =#aes8#b<>w' =#g,es8<>w =#g,e>f \[\text{Kapazit„t}_{\text{min}} =\frac{15 \text{s}}{2 \Omega} =7,5 \frac{\text{s}}{\Omega} =7,5 \text{F}\] #d.e vergr9~erungs- und verkl3nerungspr`fixe ::::::::::::::::::::::::: vergr9~erungs- und verkl3nerungs- pr`fixe werden verwendet, um 3n mehrfa4es bzw. 3nen bru4t3l 3ner grund3nh3t zu bilden. am bekannte}en #d.d-#d.e #hg sind d0jenigen des internationalen 3nh3tensy}ems =>si=, zum b3sp0l (k) =(kilo-), das t1sendfa4e der grund- 3nh3t= und (m) =(milli-), 3n t1- send}el der grund3nh3t=. s0 werden als be}andt3l der 3nh3t behandelt. das 3nh3tenkennz34en % }eht also vor dem pr`fix und ni4t vor der grund3nh3t. b3sp0l #d.e >b#ja #aj|-:m =#amm' =ein $tausendstel $meter \[10^{-3} \text{m} =1 \text{mm} =\text{ein Tausendstel Meter}\] b3sp0l #d.e >b#jb $ein $millionstel $meter' =#a.#aj|-+m =#at$byte =#a.jjj>g$byte' =#a.jjj.jjj>m$byte' =#aj|*k$byte =#aj|,;$byte Speicherkapazit„t von x Terabyte! Aber was, bitte sehr, ist ein Terabyte? \[1 \text{TByte} =1\;000 \text{GByte} =1\;000\;000 \text{MByte} =10^{9} \text{kByte} =10^{12} \text{Byte}\] #d.e #hi #d.f w`hrungssymbole :::::::::::::::::::: 1sgew`hlte w`hrungssymbole %"e 2ro =2rozone= %>eur 2ro =2rozone= %ct 2ro-cent =2rozone= %$fr. franken =5w3z= %>chf franken =5w3z= %"s dollar =vor allem >usa= %>usd dollar =>usa= %"c cent =vor allem >usa= %"l pfund =vor allem gro~bri- tannien= %>gbp pfund =gro~britannien= %>tl pfund!,lira =t8rk3= %>trl pfund!,lira =t8rk3= %dkr krone =d`nemark= %>dkk krone =d`nemark= %$kc krone =t5e4i5e republik= %>czk krone =t5e4i5e republik= %i>r rupie =indien= %>inr rupie =indien= %"s>a dollar =1}ralien= %>aud dollar =1}ralien= %>nz"s dollar =n2seeland= #d.f #ij %>nzd dollar =n2seeland= %"y yen =japan= %>jpy yen =japan= %"y yuan =4ina= %>cny yuan =4ina= w`hrungssymbolen wird w0 anderen 3nh3tensymbolen das 3nh3tenkennz3- 4en % vorange}ellt. }eht 3ne mit punkt abge5lossene w`hrungs3nh3t vor dem wert, wird k3n leerz34en zwi5en den b3den gesetzt. b3sp0l #d.f >b#ja #g"e \[7 \euro\] b3sp0l #d.f >b#jb #e"e #bgct \[5 \euro \; 27 \text{ct}\] b3sp0l #d.f >b#jc "e#e.fch,ej \[\euro 5.638,50\] #d.f #ia b3sp0l #d.f >b#jd >eur#hc$mio. \[\text{EUR} \; 83 \text{Mio.}\] b3sp0l #d.f >b#je =anm.: s0he erkl`rung zum punkt in 5w3zer geldbetr`gen in (#b.a.c dezi- malbr84e).= $fr.#ba.ej \[\text{Fr.} \; 21.50\] b3sp0l #d.f >b#jf $preis =#cj"e8m|; \[\text{Preis} =30 \euro /\text{m}^{2}\] #d.f #ib #e operations- und relationsz34en ================== f8r symbole, deren namen mit 3nem }ern gekennz34net sind, werden im an5luss an d0 li}en besondere regeln be5r0ben. >a h|fig gebr14te z34en %+ plus %- minus %. mal =punkt='* %: get3lt dur4, verh`lt si4 zu =doppelpunkt= %= gl34 %o, gr9~er als %9. kl3ner als >b operationsz34en %+ plus %- minus %+- plus!,minus %-+ minus!,plus %. mal =punkt='* %( mal =kr2z= #e>a-#e>b #ic %!( mal =}ern= %) verkn8pft mit =kuller, ver- kettungsz34en, kr3sopera- tor= %: get3lt dur4, verh`lt si4 zu =doppelpunkt= %8 bru4}ri4'* =leerz34enregeln s0he (#i br84e)= %6 fakult`t'* >c relationsz34en %= gl34 %*= ungl34 %== identi5 gl34, kongruent =zah- lentheor0= %*== ni4t identi5 gl34, inkongru- ent =zahlentheor0= %:= definitionsgem`~ gl34 =dop- pelpunkt gl34h3tsz34en= %=: definitionsgem`~ gl34 =gl34- h3tsz34en doppelpunkt= %:=: vert15bar =doppelpunkt gl34- h3tsz34en doppelpunkt= %? `hnli4, `quivalent, propor- tional %*? ni4t `hnli4, ni4t `quivalent, ni4t proportional #e>b-#e>c #id %?? ungef`hr gl34 %o, gr9~er als %*o, ni4t gr9~er als %o= gr9~er oder gl34 %9. kl3ner als %*9. ni4t kl3ner als %9= kl3ner oder gl34 %oo, gro~ gegen %99. kl3n gegen %o,9. gr9~er oder kl3ner als %9.o, kl3ner oder gr9~er als %o=9. gr9~er, gl34 oder kl3ner %9=o, kl3ner, gl34 oder gr9~er %0= entspri4t %0?? entspri4t ungef`hr >d t3lt =zahlentheor0= %"l t3lt %*"l t3lt ni4t >e mengenlehre =s0he (#ab mengenleh- re)= %3. ver3nigt mit %0. ge5nitten mit %1. vermindert um, ohne %|. symmetri5e differenz %3: vel =verbandstheor0= #e>c-#e>e #ie %0: et =verbandstheor0= %&e i} element von %*&e i} ni4t element von %&* hat zum element %2. i} enthalten in, i} t3lmenge von %2= i} enthalten in oder gl34 %`, enth`lt, i} obermenge von %`= enth`lt oder i} gl34 >f logik =s0he (#ac logik)= %0, und %3, oder %:* ni4t >g geometr0 =s0he (#ad.a geometri5e symbole)= %?= kongruent =geometr0= %*?= inkongruent =geometr0= %:0 projektiv zu %=0 perspektiv zu %#. senkre4t 1f %"% parallel zu =das zw3te voll- z34en i} t3l des symbols.= %"%= parallel und gl34 =das zw3te vollz34en i} t3l des sym- bols.= #e>e-#e>g #if >h pf3le =s0he (#g pf3le)= %::o pf3l na4 re4ts %:, pf3l na4 re4ts %9:: pf3l na4 links %!: pf3l na4 links %9::o doppelpf3l mit 3nfa4em 5aft %!:, doppelpf3l mit 3nfa4em 5aft %==o implikationspf3l =pf3l na4 re4ts mit doppeltem 5aft= %4=, implikationspf3l =pf3l na4 re4ts mit doppeltem 5aft= %9==o `quivalenzpf3l =doppelpf3l mit doppeltem 5aft= %4!=, `quivalenzpf3l =doppelpf3l mit doppeltem 5aft= %>:, zuordnungspf3l %4!; pf3l na4 oben %4;, pf3l na4 unten vor b3nahe allen operations- und relationsz34en i} 3n leerz34en zu setzen, na4 ihnen dagegen ni4t. da v0le operations- und relationsz34en k3nen punkt der oberen punktr3he =punkte #a und #d'= enthalten, er- l34tert der an5luss an das unmittel- bar dar1ffolgende z34en das erkennen #e>g-#e #ig der vertikalen position der punkte mit dem finger. das leerz34en vor 3nem operations- bzw. relationsz34en entf`llt nur na4 z34en der braille5rift, 1f d0 ohne- hin k3n leerz34en folgen darf. d0s sind vor allem d0 operations- und relationsz34en, 9ffnende klammern, exponenten und indizes sow0 das wur- zelz34en. das leerz34en vor dem malpunkt wird oft weggelassen, um d0 zusam- mengeh9rigk3t b3der t3l1sdr8cke zu verd2tli4en. damit der punkt ni4t als gl0derungspunkt gelesen wird, muss 3ne dar1f folgende zahl mit zahlz34en versehen werden. f8r den bru4}ri4 und das fakult`t- z34en gelten d0 oben erl|terten all- gem3nen leerz34enregeln f8r opera- tions- und relationsz34en ni4t. d0 w0dergabe von br84en wird im kapitel (#i br84e) 1sf8hrli4 behan- delt. das fakult`tz34en %6 folgt un- mittelbar 1f den term. 3n leerz34en na4 dem fakult`tz34en 5l0~t 3ne ver- #e #ih we4slung mit 3nem der v0len symbole, d0 mit dem 5l8sselz34en %6 begin- nen, 1s. falls si4 an d0ser }elle k3n leerz34en ergibt, muss f8r 3nd2- tigk3t gesorgt werden. zum b3sp0l kann vor 3ne 9ffnende klammer 3n malpunkt =ggf. mit 3ner braille- 5riftte4ni5en anmerkung= oder aber der zusammenhaltepunkt %" 3ngef8gt werden, um d0 3nd2tigk3t zu gew`hr- l3}en =s0he b3sp0l #e >b#aj'=. der senkre4te bzw. 5r`ge }ri4 dur4 3n 5warz5riftsymbol, der d0 bed2tung des symbols neg0rt, wird in der braille5rift dur4 3n vorange}ell- tes %* w0dergegeben. 3nzelne relationssymbole k9nnen in der 5warz5rift ver50dene formen ha- ben. der untere }ri4 b3m symbol f8r (gr9~er oder gl34) kann zum b3sp0l waagre4t oder 5r`g darge}ellt s3n. das braille5riftsymbol }eht jew3ls f8r alle g`ngigen varianten des 5warz5riftsymbols. #e #ii hinw3se: f8r mark0rungen an symbolen, d0 w0 operations- bzw. relationsz34en 1s- sehen, s0he (#h 3nfa4e und zusammen- fassende mark0rungen). das fr8her 8bli4e divisionsz3- 4en %/ wurde 1s dem z34enbe}and ge}ri4en. b3sp0l #e >b#ja #h +#g =#g +#h \[8 +7 =7 +8\] b3sp0l #e >b#jb x -#e =#b \[x -5 =2\] b3sp0l #e >b#jc #fc.#e =#cae oder #fc .#e =#cae \[63 \cdot 5 =315\] #e #ajj b3sp0l #e >b#jd a.b =b.a \[a \cdot b =b \cdot a\] b3sp0l #e >b#je #cd (#e =#agj oder' #cd !(#e =#agj \[34 \times 5 =170 \; \text{oder} \; 34 *5 =170\] b3sp0l #e >b#jf #h.2-#g` =-#ef oder #h .2-#g` =-#ef \[8 \cdot (-7) =-56\] b3sp0l #e >b#jg #aj :#d =#b,e \[10 :4 =2,5\] b3sp0l #e >b#jh a :b =c \[a :b =c\] #e #aja b3sp0l #e >b#ji n6 =#a.#b.#c.#d...." .2n -#a`.n oder n6 =#a .#b .#c .#d ....' .2n -#a` .n \[n! =1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot (n -1) \cdot n\] b3sp0l #e >b#aj 2a +#a`6 =a6.2a +#a` oder 2a +#a`6 =a6"2a +#a` \[(a +1)! =a! (a +1)\] b3sp0l #e >b#aa f )g2x` \[f \circ g(x)\] :::::::::::: ende des er}en bandes #e #ajb das sy}em der mathematik5rift in der d2t5en braille5rift -------------------------- in dr3 brailleb`nden zw3ter band inhaltsverz34nis ================ er}er band :::::::::: vorwort ....................... #a entwicklung ................. #b kompakth3t versus kontextun- abh`ngigk3t ............. #c n2erungen ................... #d zum gebr14 d0ses regelwerks ... #i 1fb1 ........................ #i $la$te>x .................... #aa #a grundlegende te4niken zur 8bertragung von mathematik #ae #a.a we4sel zwi5en text- und mathematik5rift ......... #ae #a.a.a layout ............. #af #a.a.b an- und abk8ndi- gungsz34en f8r mathema- tik5rift .............. #ba #a.a.c an- und abk8ndi- gungsz34en f8r text- 5rift ................. #bd #a.a.d doppelleerz34ente4- nik ................... #be inhaltsverz34nis >i #a.a.e hinw3se zum 3nsatz der 5riftwe4selte4niken #bi #a.b trennen und zusammenhal- ten mathemati5er 1sdr8cke #cb #a.c anmerkungen zur braille- 5rift8bertragung ........ #cd #b ziffern und zahlen ......... #cg #b.a arabi5e ziffern und zah- len ..................... #cg #b.a.a zahlen in }andard- 5r3bw3se .............. #ch #b.a.b zahlen in gesenkter 5r3bw3se .............. #da #b.a.c dezimalbr84e ....... #dd #b.a.d periodi5e dezimal- br84e ................. #df #b.a.e gl0derung langer zahlen ................ #dg #b.a.f ordnungszahlen, de- zimalklassifikatoren, daten und uhrz3ten .... #di #b.b r9mi5e zahlen .......... #eb #c bu4}aben und satzz34en ..... #ee #c.a vorbemerkung zur kenn- z34nung von bu4}aben .... #ee #c.b gro~- und kl3n5r3bung lat3ni5er bu4}aben ...... #ef inhaltsverz34nis >ii #c.c gr04i5e bu4}aben ....... #ei #c.d besondere typografi5e 1sz34nungen ............. #fe #c.e bu4}aben`hnli4e symbole #gj #c.f kurzwortsymbole ........ #gd #c.g satzz34en .............. #gg #c.h text in der mathematik- 5rift ................... #gh #d 3nh3ten .................... #ha #d.a kennz34nung von 3nh3ten- symbolen ................ #ha #d.b prozent, promille ...... #hc #d.c winkel- und temperatur- ma~e .................... #hc #d.d 3nh3tensymbole 1s bu4}a- ben ..................... #hd #d.e vergr9~erungs- und ver- kl3nerungspr`fixe ....... #hg #d.f w`hrungssymbole ........ #ij #e operations- und relationsz3- 4en ....................... #ic zw3ter band ::::::::::: #f klammern und senkre4te }ri4e #ajc #f.a allgem3nes zu klammern #aje #f.b 3nfa4e klammern ........ #aje inhaltsverz34nis >iii #f.c spezielle braille5rift- klammern ................ #ajh #f.d mehrz3lige klammer1sdr8- cke ..................... #aaa #f.e senkre4te }ri4e ........ #aag #f.f textklammern in der ma- thematik ................ #abj #g pf3le ...................... #abc #g.a modulare pf3le ......... #abc #g.b defin0rte pf3le ........ #abi #g.c be5riftung von pf3len .. #aca #h 3nfa4e und zusammenfassende mark0rungen ............... #ace #h.a 3nfa4e mark0rungen ..... #aci #h.b zusammenfassende mark0- rungen .................. #adb #i br84e ...................... #adg #i.a zahlenbr84e und gemi5te zahlen .................. #adg #i.b 3nfa4e bru45r3bw3se .... #aej #i.c 1sf8hrli4e bru45r3bw3se #aeb #i.d mehrfa4br84e ........... #aef #aj projektivte4nik ........... #aei #aj.a 3nfa4e projektive ..... #afa #aj.b ver}`rkte projektive .. #afd #aj.c indizes und exponenten #aff #aj.c.a hintere indizes und inhaltsverz34nis >iv exponenten ............ #afg #aj.c.b vordere indizes ... #agb #aj.c.c indizes 1s ganzen zahlen ................ #agd #aj.d wurzeln und zus`tze ... #agf #aa analysis .................. #agi #aa.a funktionen ............ #ahj #aa.b logarithmus- und expo- nentialfunktionen ....... #aha #aa.c integral- und differen- tialre4nung ............. #ahd #ab mengenlehre ............... #ahg #ac logik ..................... #aia #ad geometr0, trigonometr0 und vektoren .................. #aic #ad.a geometri5e symbole .... #aic #ad.b winkel-, hyperbelfunk- tionen und umkehrungen .. #aie #ad.c vektoren .............. #aii #ae platzhalter und horizontale zusammenfassungen ......... #bjc #ae.a platzhalter ........... #bjc #ae.b horizontale zusammen- fassungen und l0gende klammern ................ #bje inhaltsverz34nis >v dritter band :::::::::::: anh`nge ....................... #baa >a#a 5riftli4e re4enverfahren 8ber mehrere z3len ........ #baa >a#a.a addition ............. #bae >a#a.b subtraktion .......... #bag >a#a.c multiplikation ....... #bai >a#a.d division ............. #bba >a#a.e lineare addition ..... #bbc >a#a.f das l9sen von gl34un- gen ..................... #bbf >a#b `nderungen in der mathematik5rift ........... #bbi >a#b.a ge`nderte symbole .... #bbi >a#b.b n2e symbole .......... #bcj >a#b.c zahlen ............... #bcb >a#b.d exponenten und indizes #bcc >a#b.e br84e ................ #bcc >a#b.f bu4}aben ............. #bcd >a#b.g klammern und senkre4te }ri4e ................... #bce >a#b.h 3nh3ten .............. #bcg >a#b.i pf3le ................ #bcg >a#b.aj projektivte4nik ..... #bch >a#b.aa we4sel zwi5en text- und mathematik5rift ..... #bch inhaltsverz34nis >vi >a#b.ab son}iges ............ #bci >a#c glossar .................. #bda >a#d mathemati5e z34en, geord- net na4 der #f-punkte- braille-tabelle ........... #bea >a#e alphabeti5es sa4regi}er .. #bha inhaltsverz34nis >vii inhaltsverz34nis >viii #f klammern und senkre4te }ri4e =============================== folgende symbole werden 1f der (in- nens3te) direkt an das bena4barte z34en ange5lossen: %2 runde 9ffnende klammer %` runde 5l0~ende klammer %{ eckige 9ffnende klammer %} eckige 5l0~ende klammer %!{ ge5w3fte 9ffnende klammer %!} ge5w3fte 5l0~ende klammer %${ spitze 9ffnende klammer %$} spitze 5l0~ende klammer %'{ }umpfwinklige 9ffnende klammer %'} }umpfwinklige 5l0~ende klammer %!>{ g1~5e 9ffnende klammer =obere grenze= %!>} g1~5e 5l0~ende klammer =obere grenze= %!<{ g1~5e 9ffnende klammer =untere grenze= %!<} g1~5e 5l0~ende klammer =untere grenze= %#2 runde spezielle 9ffnende braille5riftklammer #f #ajc %#` runde spezielle 5l0~ende braille5riftklammer %#{ eckige spezielle 9ffnende braille5riftklammer %#} eckige spezielle 5l0~ende braille5riftklammer %#!{ ge5w3fte spezielle 9ffnende braille5riftklammer %#!} ge5w3fte spezielle 5l0~ende braille5riftklammer %$!{ z3lenzusammenfassungsklammer: mehrere z3len zusammenfas- sende gro~e linke ge5w3fte klammer %"l senkre4ter }ri4 %"% senkre4ter doppel}ri4 =das zw3te vollz34en i} t3l des symbols.= %'<= braille5riftte4ni5e anmer- kungsklammern =9ffnend und 5l0~end= %<8 beginn 3ner n2en z3le f8r l0gende zusammenfassende klam- mern s0he (#ae.b horizontale zusam- menfassungen und l0gende klammern). #f #ajd #f.a allgem3nes zu klammern ::::::::::::::::::::::::::: in der mathematik5rift i} d0 gen1e w0dergabe des unter50ds zwi5en 9ff- nenden und 5l0~enden klammern un- erl`ssli4. deshalb sind d0 klammern der braille5en text5rift f8r mathe- mati5e 1sdr8cke unge3gnet. in der mathematik5rift sind daher 3gene klammerformen erforderli4. #f.b 3nfa4e klammern :::::::::::::::::::: allen klammersymbolen gem3nsam i}, dass s0 1f den innens3ten direkt, also ohne leerz34en, an den 3nzu- klammernden inhalt ange5lossen wer- den. ob 1f der 1~ens3te der klammer 3n leerz34en }ehen muss, i} vom be- na4barten z34en abh`ngig. in der 5warz5rift werden |~ere klammern gelegentli4 etwas gr9~er gedruckt als d0 im inneren. in den #f.a-#f.b #aje m3}en f`llen muss d0 braille5rift d0sen mathemati5 unbed2tenden unter- 50d ni4t w0dergeben. jedo4 kann es sinnvoll s3n, den unter50d in d0 braille5rift zu 8bernehmen, etwa 1s gr8nden der klarh3t oder w3l d0 8bertragung r8ck5l8sse 1f d0 5r3bw3- se im original erm9gli4en soll. in d0sen f`llen k9nnen spezielle braille5riftklammern verwendet wer- den =s0he (#f.c spezielle braille- 5riftklammern)=. b3sp0l #f.b >b#ja f2x` =2x +#b`2x -#b` \[f(x) =(x +2)(x -2)\] b3sp0l #f.b >b#jb !{$apfel', $birne',' $orange!} \[\{\text{Apfel}, \; \text{Birne}, \; \text{Orange}\}\] #f.b #ajf b3sp0l #f.b >b#jc }-#%'; -#aj=} 3.{#aj:'; #%{ \[\left] -\infty; \frac{-10}{7} \right] \cup \left[ \frac{10}{3}; \infty \right[\] b3sp0l #f.b >b#jd 2#a +;#b8t<`|; .{;#a8t<' -2;t8#b< -#a`|-,}|-; \[\left(1 +\frac{2}{t}\right)^{2} \cdot \left[\frac{1}{t} -\left(\frac{t}{2} -1\right)^{-1}\right]^{-2}\] b3sp0l #f.b >b#je =anm.: f8r d0 dar}ellung mit her- vorhebung der gr9~eren 1~enklammern s0he b3sp0l #f.c >b#ja.= 6l 22x +#g`|;` =#j \[\lg \left( (x +7)^{2} \right) =0\] #f.b #ajg #f.c spezielle braille5riftklammern ::::::::::::::::::::::::: %#2 runde spezielle 9ffnende braille5riftklammer %#` runde spezielle 5l0~ende braille5riftklammer %#{ eckige spezielle 9ffnende braille5riftklammer %#} eckige spezielle 5l0~ende braille5riftklammer %#!{ ge5w3fte spezielle 9ffnende braille5riftklammer %#!} ge5w3fte spezielle 5l0~ende braille5riftklammer d0 speziellen braille5riftklammern k9nnen unter50dli4 verwendung fin- den, zum b3sp0l, '- um ge}altungste4niken der 5warz- 5rift zur trennung mathemati5er 1sdr8cke w0derzugeben, d0 si4 in der braille5rift ni4t oder nur 5wer realis0ren lassen '- um besonders hervorgehobene klam- #f.c #ajh mern darzu}ellen '- um d0 besondere hervorhebung 3n- zelner 1sdruckst3le w0derzugeben '- um 3nzelne t3le kompliz0rter 1s- dr8cke besser gl0dern zu k9nnen. in der 5warz5rift werden bedingun- gen f8r d0 g8ltigk3t 3nes vor1sge- henden 1sdrucks oft r|mli4 abgesetzt und am ende derselben z3le ge5r0ben. d0 kurzen braille5riftz3len lassen 3ne sol4e te4nik selten zu. das 3n- 5l0~en der bedingungen in speziellen braille5riftklammern sorgt f8r d0 n9tige abtrennung und w3} gl34z3tig dar1f hin, dass d0 klammern selber in der 5warz5riftvorlage ni4t er53- nen. sind in der 5warz5rift klammerpaa- re besonders'- etwa dur4 farbe oder fettdruck'- hervorgehoben, so b0ten d0 speziellen braille5riftklammern 3ne elegantere dar}ellung als der 3nsatz 3nes ank8ndigungsz34ens f8r besondere typografi5e 1sz34nungen =s0he (#c.d besondere typografi5e 1sz34nungen)=. in d0sem fall muss d0 #f.c #aji form der klammern in 3ner anmerkung zur braille8bertragung fe}gehalten werden =s0he (#a.c anmerkungen zur braille5rift8bertragung)=. d0 speziellen braille5riftklammern k9nnen 14 verwendet werden, um be- sonders hervorgehobene t3l1sdr8cke zu kennz34nen. 14 in d0sem fall muss d0 form der klammern in 3ner anmer- kung zur braille8bertragung fe}- gehalten werden =s0he (#a.c anmer- kungen zur braille5rift8bertra- gung)=. in der mathemati5en notation der 5warz5rift b0tet d0 r|mli4e vert3- lung der symbole subtile m9gli4k3- ten, das verh`ltnis 3nzelner symbole zu3nander klarzu}ellen. b3 der 8ber- tragung komplexer 1sdr8cke in d0 braille5rift kann es daher von vor- t3l s3n, d0 zusammenh`nge d0ser sym- bole dur4 3n zus`tzli4es klammerpaar d2tli4 zu ma4en. h0rf8r 3gnen si4 d0 speziellen braille5riftklammern. s0 signalis0ren, dass an d0sen }ellen in der 5warz5rift k3ne klammern exi}0ren. #f.c #aaj b3sp0l #f.c >b#ja =anm.: in d0sem b3sp0l sind d0 |- ~eren klammern rot.= '<=d0 speziellen braille5rift- klammern %#2...#` }ehen f8r rote klammern.'<= 6l #22x +#g`|;#` =#j \[\lg \textcolor{red}{\left(} (x+7)^{2} \textcolor{red}{\right)} =0\] s0he 14 b3sp0l #f.d >b#jf. #f.d mehrz3lige klammer1sdr8cke ::::::::::::::::::::::::::::::: werden in der 5warz5rift mehrere z3len mit mathemati5en 1sdr8cken dur4 3ne gro~e ge5w3fte klammer zu- sammengefasst, wird in der braille- 5rift das symbol %$!{ vor dem er}en 1sdruck ge5r0ben. d0 z3lenwe4- sel der 5warz5rift werden mit %<8 gekennz34net, unabh`ngig davon, ob in der braille5rift 3ne n2e z3le be- #f.c-#f.d #aaa gonnen wird =s0he b3sp0le #f.d >b#je und #f.d >b#jf'=. f8r klammerpaare, d0 si4 8ber meh- rere z3len er}recken, gibt es in der braille5rift zw3 dar}ellungsm9gli4- k3ten. 8bli4erw3se wird d0 9ffnende klam- mer zu beginn der er}en z3le und d0 5l0~ende klammer im an5luss an d0 letzte z3le gesetzt. d0 z3lenwe4sel der 5warz5rift werden 14 h0r mit %<8 gekennz34net. 3ne n2e phy- sikali5e z3le i} ni4t erforderli4. vor und na4 d0sem z34en k9nnen je na4dem, w0 es der 8bersi4tli4k3t d0nt, leerz34en gesetzt werden, je- do4 darf das er}e der b3den braille- z34en ni4t als z34en f8r bru4ende missd2tet werden k9nnen. man4mal i} es zweckm`~ig, d0 5warz5riftdar}ellung 3nes mathemati- 5en 1sdrucks 8ber mehrere z3len in d0 braille5rift zu 8bernehmen, b3- sp0lsw3se zur veran51li4ung b3 der 3nf8hrung des matrixbegriffs. in d0- ser dar}ellungsform er53nen d0 klam- mersymbole unter3nander 1f jeder z3- #f.d #aab le. d0 3nzelnen terme innerhalb der klammern werden so 1sgeri4tet, dass d0 spalten gut erkennbar sind. leer- z34en innerhalb von termen sind mit punkt #d %" 1szuf8llen, um d0 zu- geh9rigk3t der elemente zu verd2tli- 4en. gro~e leerr|me sind zu verm3den =s0he b3sp0l #f.d >b#jd'=. hinw3s: d0se dar}ellungsform f8hrt ni4t zur selben 8berblickbark3t w0 in der 5warz5rift. s0 i} zudem sehr 1fw`n- dig zu 5r3ben und 3gnet si4 weniger f8r d0 routinearb3t. b3sp0l #f.d >b#ja 2n<8k` 2#e<8#c` \[\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 5 \\ 3 \end{array} \right)\] oder #f.d #aac \[\binom{n}{k} \binom{5}{3}\] b3sp0l #f.d >b#jb 2#a #b #c #d <8 #b #c #d #a` 14 3nd2tig und 8bersi4tli4 i} d0 vom }andard abw34ende, k8rzere 5r3bw3se: 2#a#b#c#d <8 #b#c#d#a` \[\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \end{array} \right)\] b3sp0l #f.d >b#jc 2a1,, a1,; ... a1#an <8' a1;, a1;; ... a1#bn <8' ... <8' a1n#a a1n#b ... a1nn` \[\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{array} \right)\] #f.d #aad b3sp0l #f.d >b#jd 2#j x"+#a` 2x"-#a #j ` oder 2#j x"+#a <8 x"-#a #j` \[\left( \begin{array}{cc} 0 & x +1 \\ x -1 & 0 \end{array} \right)\] b3sp0l #f.d >b#je f2x` =$!{#a f8r rationale x' <8 #j f8r irrationale x oder f2x` =$!{#a '.f8r rationale'. x' <8 #j '.f8r irrationale'. x 3ne m9gli4k3t in der kurz5rift: f2x` =$!{ #a f r!n:e x' <8 #j f irr!n:e x \[f(x) =\left\{ 1 \; \text{fr rationale} \; x \\ 0 \; \text{fr irrationale} \; x \right.\] b3sp0l #f.d >b#jf =anm.: s0he 14 (#f.c spezielle braille5riftklammern).= #f.d #aae a#a.f das l9sen von gl34ungen)=. treten d0 }ri4e paarw3se 1f, zum b3sp0l als betrags}ri4e oder als de- terminanten}ri4e b3 matrizen, werden s0 w0 klammern behandelt. b3sp0l #f.e >b#ja >p2#b"l#e` #f.e #aag \[P(2 | 5)\] b3sp0l #f.e >b#jb "l-#c"l =#c \[|-3| =3\] b3sp0l #f.e >b#jc b#jd y ="l"l#cx"l -#c"l \[y =||3x| -3|\] b3sp0l #f.e >b#je 6cb#jf =anm.: s0he 14 (>a#a.f das l9sen von gl34ungen).= x =#cx -#d "l-x #f.e #aah \[x =3x -4 \quad | -x\] b3sp0l #f.e >b#jg !{k &e$$z "l p 9=k 9=q!}' =:{p...q} \[\{k \in \mathbb{Z} | p \leq k \leq q\} =:[p ... q]\] b3sp0l #f.e >b#jh "la1, b1, <8 a1; b1;"l \[\left| \begin{array}{cc} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{array} \right|\] b3sp0l #f.e >b#ji "%a.x"% ="la"l."%x"% \[\|a \cdot x\| =|a| \cdot \|x\|\] #f.e #aai #f.f textklammern in der mathematik :::::::::::::::::::::::: 14 in mathemati5en passagen treten klammern 1f, d0 eher 3ne text- als 3ne mathemati5e funktion erf8llen. zu d0sem zweck d8rfen d0 klammern der text5rift in d0 mathematik5rift (import0rt) werden. s0 werden dann dur4 3nen vor1sgehenden punkt #f %' von mathemati5en symbolen =w0 dem gl34h3tsz34en= unter50den =s0he (#c.g satzz34en)=. ni4t alle klammern in 3ner mathe- mati5en umgebung haben d0 3gentli4e funktion mathemati5er klammern. b3- sp0le h0rf8r sind formelnummern, gl34ungsbedingungen und 3nh3ten hin- ter gl34ungen. h0r i} es der 5r3ben- den bzw. 8bertragenden person 8ber- lassen, text- oder mathemati5e klam- mern zu w`hlen. #f.f #abj b3sp0l #f.f >b#ja >i1, =>i1; =>i '=$gesamtstrom'= \[I_{1} =I_{2} =I \quad \text{(Gesamtstrom)}\] b3sp0l #f.f >b#jb =anm.: d0 formelnummer0rung, d0 in der 5warz5rift m3} am re4ten s3ten- rand }eht, wird in braille5rift bevorzugt links platz0rt. in der zw3ten der folgenden varianten }eht s0 in text5rift; es wird er} dana4 dur4 layoutte4nik in d0 mathematik- 5rift gewe4selt. s0he (#a.a.a lay- out).= '=#a.a'= s =v1).t +#a;at|; oder =#a.a'= s =v1).t +#a;at|; oder 2#a.a` s =v1).t +#a;at|; \[s =v_{0} \cdot t +\frac{1}{2} at^{2} \quad (1.1)\] #f.f #aba b3sp0l #f.f >b#jc x|; +px +q =#j '=p *=#j'= oder x|; +px +q =#j 2p *=#j` \[x^{2} +px +q =0 \quad (p \neq 0)\] #f.f #abb #g pf3le ======== d0 braillemathematik5rift verf8gt 8ber zw3 dar}ellungsarten f8r pf3le. '- in der modularen w0dergabe werden pf3le 1s elementen f8r ri4tung =horizontal, vertikal oder diago- nal=, 5aft- und spitzenform zu- sammengesetzt. '- f8r 3nige horizontale pf3le }ehen zus`tzli4 defin0rte dar}ellungen zur verf8gung. #g.a modulare pf3le ::::::::::::::::::: pf3lmodule %4 5l8sselz34en f8r pf3ldar}el- lungen %; 3nfa4er vertikaler 5aft %: 3nfa4er horizontaler 5aft %? 3nfa4er diagonaler 5aft =links oben!,re4ts unten= %* 3nfa4er diagonaler 5aft =links #g-#g.a #abc unten!,re4ts oben= %= doppelter horizontaler 5aft %;; ge}ri4elter 3nfa4er vertikaler 5aft %:: ge}ri4elter 3nfa4er horizonta- ler 5aft %?? ge}ri4elter 3nfa4er diagonaler 5aft =links oben!,re4ts unten= %** ge}ri4elter 3nfa4er diagonaler 5aft =links unten!,re4ts oben= %== ge}ri4elter doppelter horizon- taler 5aft %! 3nfa4e spitze na4 links oder unten %, 3nfa4e spitze na4 re4ts oder oben %!! doppelte spitze na4 links oder unten %,, doppelte spitze na4 re4ts oder oben %- }ri4 dur4 den 5aft %> kl3ner quer}ri4 3nes zuord- nungspf3ls #g.a #abd horizontale pf3le, b3 denen zum3} 1f das 5l8sselz34en verzi4tet wird %:, pf3l na4 re4ts mit 3nfa4em 5aft und 3nfa4er spitze %!: pf3l na4 links mit 3nfa4em 5aft und 3nfa4er spitze %!:, pf3l na4 links und re4ts mit 3nfa4em 5aft und 3nfa4en spitzen %>:, zuordnungspf3l mit der modularen dar}ellung k9n- nen pf3le mit ver50denen 5aft- und spitzenformen in a4t ver50dene ri4- tungen w0dergegeben werden. 3n pf3lsymbol wird je na4 vorhan- dens3n der elemente'- `hnli4 w0 in 3nem b1ka}ensy}em'- w0 folgt zusam- mengesetzt: '- 5l8sselz34en f8r pf3le '- }ri4 dur4 den 5aft bzw. quer}ri4 b3m zuordnungspf3l '- spitze am linken, b3 vertikalen pf3len am unteren ende des 5afts =falls vorhanden= '- 5aft '- spitze am re4ten, b3 vertikalen #g.a #abe pf3len am oberen ende des 5afts =falls vorhanden= dr3- und mehrfa4e spitzen werden analog den doppelten gebildet. d0 horizontalen pf3le %:, %!: %!:, sow0 %>:, =zuordnungspf3l= werden m3}ens ohne 5l8sselz34en ge- 5r0ben. sind w3tere pf3lformen'- zum b3- sp0l 3ne gebogene spitze'- darzu}el- len, kann 3nes der folgenden z34en zwi5en dem 5l8ssel- und dem dar1f folgenden z34en 3nge5oben wer- den: %/ %+ %( %) %< und %% =das im letzten fall zu verwendende z34en i} das zw3te vollz34en=. 3n sol4es z34en k9nnte 14 als 3n w3te- res 5aft- oder spitzenformz34en d0- nen. d0 bed2tung des verwendeten z3- 4ens i} in 3ner braille5riftte4ni5en anmerkung zu erl|tern =s0he (#a.c anmerkungen zur braille5rift8bertra- gung)=. d0 modular w0dergegebenen pf3le haben ver50dene funktionen und deren bezug zu bena4barten z34en i} #g.a #abf dementspre4end ni4t 3nh3tli4. daher }ehen s0 t3lw3se zwi5en leerz34en und t3lw3se an andere z34en ange- 5lossen. als mark0rung 5l0~en s0 zum b3sp0l unmittelbar an d0 symbole, d0 s0 modifiz0ren, an =s0he (#h 3nfa4e und zusammenfassende mark0rungen)=. als relations- oder operationsz34en werden s0 na4 3nem leerz34en und an- ge5lossen an das folgende z34en ge- 5r0ben =s0he (#e operations- und re- lationsz34en)=. hinw3se: wenn 3n modularer pf3l mit 3ner na4 links geri4teten spitze %! en- det, muss daf8r gesorgt werden, dass d0ses z34en weder mit dem z34en f8r besondere typografi5e 1sz34nungen no4 mit der ver}`rkung 3nes projekt- ivs verwe4selt werden kann =s0he (#c.d besondere typografi5e 1sz34- nungen) und (#aj.b ver}`rkte projek- tive)=. f8r pf3lbe5riftungen s0he (#g.c be5riftung von pf3len). #g.a #abg b3sp0l #g.a >b#ja x >:,6,t'x \[x \mapsto \arctan x\] b3sp0l #g.a >b#jb f:': x >:,3x \[\overline{f}: x \mapsto \sqrt{x}\] b3sp0l #g.a >b#jc #l1x":,p f2x` =#l1x"4*,p f2x`' =#l1x"4?,p f2x` \[\lim_{x \rightarrow p} f(x) =\lim_{x \nearrow p} f(x) =\lim_{x \searrow p} f(x)\] b3sp0l #g.a >b#jd f1; )f1,': $!{>d1, :,$$r' <8 x >:,f1,2x` \[f_{2} \circ f_{1}: \left\{ D_{1} \to \mathbb{R} \\ x \mapsto f_{1}(x)\right.\] #g.a #abh #g.b defin0rte pf3le :::::::::::::::::::: %::o pf3l na4 re4ts mit 3nfa4em 5aft und 3nfa4er spitze %9:: pf3l na4 links mit 3nfa4em 5aft und 3nfa4er spitze %9::o pf3l na4 links und re4ts mit 3nfa4em 5aft und 3nfa4en spitzen %==o pf3l na4 re4ts mit doppeltem 5aft und 3nfa4er spitze =implikationspf3l= %9== pf3l na4 links mit doppeltem 5aft und 3nfa4er spitze %9==o pf3l na4 links und re4ts mit doppeltem 5aft und 3nfa4en spitzen =`quivalenzpf3l= %,,o pf3l na4 re4ts mit ge}ri4el- tem 5aft und 3nfa4er spitze %9,, pf3l na4 links mit ge}ri4el- tem 5aft und 3nfa4er spitze %9,,o pf3l na4 links und re4ts mit ge}ri4eltem 5aft und 3nfa- 4en spitzen #g.b #abi d0 w0dergabe als defin0rter pf3l 3gnet si4 vor allem dort, wo der pf3l als operations- oder relations- z34en 3nen mathemati5en 1sdruck untert3lt. pf3le als mark0rung oder zusatz an 3nem symbol sind im allge- m3nen besser mit modularen pf3len darzu}ellen. defin0rte pf3le sind generell zwi- 5en leerz34en zu setzen. 1snahmen be}ehen dort, wo bena4barte symbole d0s ni4t zulassen =etwa klammern=. f8r pf3lbe5riftungen s0he (#g.c be- 5riftung von pf3len). b3sp0l #g.b >b#ja #a -#a8x =#j 9==o #a8x =#a' 9==o x =#a \[1 -\frac{1}{x} =0 \Leftrightarrow \frac{1}{x} =1 \Leftrightarrow x =1\] b3sp0l #g.b >b#jb g #.h ==o a:,1g )a:,1h =#j \[g \perp h \Rightarrow \vec{a}_{g} #g.b #acj \circ \vec{a}_{h} =0\] #g.c be5riftung von pf3len :::::::::::::::::::::::::: in der braillemathematik5rift wer- den pf3lbe5riftungen'- ungea4tet ihres r|mli4en bezugs zum pf3l in der vorlage'- im an5luss an den pf3l }ets in klammern ge5r0ben. 1f den pf3l folgt punkt #d %" und d0 be5riftung wird in speziellen runden braille5riftklam- mern %#2...#` 3nge5lossen. 3n we4- sel zur text5rift muss gekennz34net werden. 1f d0 5l0~ende klammer folgt 3n leerz34en oder 3n satzz34en. alternativ d8rfen je na4 inhalt runde mathemati5e klammern %2 und %` oder aber runde textklam- mern %=...= verwendet werden. vor d0 9ffnende klammer wird b3 mathema- ti5en klammern punkt #d %" und b3 textklammern punkt #f %' gesetzt. das 5riftsy}em innerhalb der klam- #g.b-#g.c #aca mern entspri4t der gew`hlten klam- merart. }eht d0 be5riftung in der vorlage selb} in klammern und sind d0se von inhaltli4er bed2tung, werden s0 8bernommen und dur4 d0 oben be5r0be- nen klammern erg`nzt. b3sp0l #g.c >b#ja #e ::o"#2+#b#` ... ::o"#2.#c#`' ... ::o"#2-#d#` ... oder #e ::o"2+#b` ... ::o"2.#c` ...' ::o"2-#d` ... \[5 \stackrel{+2}{\longrightarrow} ... \stackrel{\cdot 3}{\longrightarrow} ... \stackrel{-4}{\longrightarrow} ...\] b3sp0l #g.c >b#jb #c,hf .#d,g ::o"#2'.gerundet'.#`' #d .#d,e oder #g.c #acb #c,hf .#d,g ::o'=gerundet=' #d .#d,e \[3.86 \cdot 4.7 \stackrel{\text{gerundet}} {\longrightarrow} 4 \cdot 4.5\] #g.c #acc #g.c #acd #h 3nfa4e und zusammenfassende mark0rungen ============================== an- und abk8ndigungsz34en %> ank8ndigungsz34en f8r 3nfa4e obere mark0rungen %< ank8ndigungsz34en f8r 3nfa4e untere mark0rungen %$ ank8ndigungsz34en f8r zusammen- fassende obere mark0rungen % ank8ndigungsz34en f8r zusammen- fassende untere mark0rungen %$ ver}`rkungsz34en f8r zusammen- fassende mark0rungen %! zw3tes ver}`rkungsz34en f8r zu- sammenfassende mark0rungen b3 ver5a4telungen %5 abk8ndigungsz34en f8r zusammen- fassende mark0rungen %$5 abk8ndigungsz34en f8r ver}`rkte zusammenfassende mark0rungen %!5 zw3tes abk8ndigungsz34en f8r ver}`rkte zusammenfassende mark0rungen #h #ace mark0rungen, d0 in der 5warz5rift re4ts oben oder re4ts unten am sym- bol }ehen %* }ri4 =5r`g oder gerade= %/ }ern %( kr2z =5r`g= %+ plusz34en %- minusz34en %4 haken =versi4erungsmathema- tik='* mark0rungen, d0 in der 5warz5rift 8ber oder unter dem symbol }ehen %: waagre4ter }ri4 %? 5langenlinie =tilde= %; punkt %) kr3s, kuller %0 da4'* %= gl34h3tsz34en %2 bogen %:, pf3l na4 re4ts %!: pf3l na4 links %4! k3l mit spitze re4ts'* %4, k3l mit spitze links'* '* 1f d0 z34en f8r den versi4erungs- mathemati5en haken, das da4 und #h #acf d0 k3le muss jew3ls 3n leer- oder satzz34en folgen, da s0 son} mit anderen z34en verwe4selt werden k9nnen. mark0rungen sind zus`tze, d0 in der 5warz5rift oberhalb, unterhalb oder re4ts von 3nem symbol ge5r0ben werden, um dessen bed2tung zu `n- dern. b3sp0le h0rf8r sind: '- pf3le 8ber bu4}aben, d0 s0 als vektoren kennz34nen. '- }ri4e 8ber bu4}aben, d0 s0 als }recken kennz34nen. '- }ri4e na4 bu4}aben, d0 s0 als geometri5e abbildungen kennz34- nen. '- }ri4e na4 funktionssymbolen, d0 differentialabl3tungen mark0ren. t0f- oder ho4ge}ellte bu4}aben und zahlen an 3nem symbol z`hlen dagegen ni4t zu den mark0rungen. s0 werden als indizes behandelt =s0he (#aj.c indizes und exponenten)=. ebenso we- nig sind symbole f8r 3nh3ten w0 grad #h #acg oder winkelminute mark0rungen. der in der 5warz5rift 8bli4e }ri4 8ber si4 w0derholenden ziffern und ziffernfolgen in periodi5en dezimal- br84en wird in der braille5rift ni4t dur4 3ne mark0rung w0dergegeben =s0- he (#b.a.d periodi5e dezimalbr84e)=. es wird braille5riftte4ni5 zwi5en 3nfa4en und zusammenfassenden mark0- rungen unter50den. 3nfa4e mark0run- gen bez0hen si4 1f 3n 3nzelnes sym- bol. zusammenfassende mark0rungen er}recken si4 8ber mehrere symbole, d0 s0 so (zusammenfassen). d0 ank8ndigungsz34en werden direkt vor, d0 abk8ndigungsz34en unmittel- bar hinter dem z34en bzw. der z34en- folge ge5r0ben. hinw3s: d0 fr8heren symbole f8r k3l mit spitze re4ts %"o und spitze links %"9 wurden dur4 d0 in der li}e 1fgef8hrten symbole ersetzt. #h #ach #h.a 3nfa4e mark0rungen ::::::::::::::::::::::: mark0rungen, d0 si4 1f 3n 3nzelnes symbol bez0hen, }ehen in der braille5rift re4ts neben dem symbol, ungea4tet dessen, ob s0 in der 5warz5rift oberhalb, unterhalb oder re4ts vom symbol }ehen. 3n ank8ndigungsz34en l3tet d0 mar- k0rung 3n und gibt an, ob s0 in der 5warz5rift oben bzw. oben re4ts oder unten bzw. unten re4ts }eht. das an- k8ndigungsz34en wird b3 oberen mar- k0rungen 8bli4erw3se weggelassen. i} 3n symbol sowohl mit mark0run- gen als 14 mit indizes bzw. exponen- ten versehen, so werden d0 mark0run- gen in der regel vor letzteren ge- 5r0ben =s0he (#aj.c indizes und ex- ponenten)=. werden an 3nem h1ptsymbol mehrere mark0rungen derselben art dur4 3ne 3ngeklammerte zahl ersetzt, wird d0- se als index ge5r0ben. #h.a #aci b3sp0l #h.a >b#ja f*', f**', f***', f|2#d` \[f', f'', f''', f^{(4)}\] b3sp0l #h.a >b#jb y** =f2x', y', y*` \[y'' =f(x,y,y')\] b3sp0l #h.a >b#jc >a?x? +b? =#j \[\tilde{A}\tilde{x} +\tilde{b} =0\] b3sp0l #h.a >b#jd f:': x >:,3x \[\overline{f}: x \mapsto \sqrt{x}\] b3sp0l #h.a >b#je c/1k \[{\overset{*}{c}}_{k}\] b3sp0l #h.a >b#jf a*1n \[a'_{n}\] #h.a #adj b3sp0l #h.a >b#jg =anm.: d0 }ri4-mark0rung }eht na4 dem h1ptsymbol mit unterem index und erfasst somit b3de.= y1,>* \[{y_{1}}'\] b3sp0l #h.a >b#jh y;1n"+#a \[\dot{y}_{n +1}\] b3sp0l #h.a >b#ji man4mal wird mit $$q<+ d0 menge der positiven rationalen zahlen und mit $$q>+1) d0- selbe menge mit der zahl #j bez34net. oder man4mal wird mit !,$$q<+'. d0 menge der positiven rationalen zahlen und mit !,$$q>+1)'. d0- selbe menge mit der zahl #j bez34net. Manchmal wird mit $\mathbb{Q}_{+}$ die Menge der positiven rationalen #h.a #ada Zahlen und mit $\mathbb{Q}^{+}_{0}$ dieselbe Menge mit der Zahl 0 bezeichnet. #h.b zusammenfassende mark0rungen ::::::::::::::::::::: zusammenfassende mark0rungen bez0- hen si4 1f mehrere symbole und wer- den in der braille5rift vor d0sen gesetzt. braille5riftte4ni5 sind s0 projektive =s0he (#aj projektivte4- nik)=. d0 mark0rung wird }ets dur4 3nes der b3den ank8ndigungsz34en f8r zu- sammenfassende obere %$ bzw. unte- re % mark0rungen 3ngel3tet. falls innerhalb des mark0rten ber34s w3te- re zusammenfassende mark0rungen oder projektive vorkommen, muss das an- k8ndigungsz34en um das z34en %$ bzw. %! zu beginn erw3tert und am 5luss zwingend das entspre4ende 5lussz34en gesetzt werden. =s0he #h.a-#h.b #adb h0rzu d0 erl|terung zur ver}`rkung von projektiven, (#aj.b ver}`rkte projektive).= d0 mark0rung gilt, bis d0 wirkung 1fgehoben wird dur4: '- 3n 5lussz34en '- 3n leerz34en '- das z3lenende'- 1~er b3m z3len- trennz34en %" oder '- 3ne w3tere mark0rung bzw. 3n an- deres projektiv b3sp0l #h.b >b#ja >u =$2>ab +$:>ab \[U =\frown{AB} +\overline{AB}\] b3sp0l #h.b >b#jb :>ab =:>cd \[\underline{AB} =\underline{CD}\] b3sp0l #h.b >b#jc $$:>a 3.>b$5 =>a: 0.>b: oder $:>a"3.>b =>a: 0.>b: \[\overline{A \cup B} =\overline{A} #h.b #adc \cap \overline{B}\] b3sp0l #h.b >b#jd $$:v|;$5 ='.mittlere quadrat.' ge5windigk3t'. \[\overline{v^{2}} =\text{mittlere quadrat. Geschwindigkeit}\] b3sp0l #h.b >b#je $$:,>p1)>p$5 \[\vec{P_{0}P}\] b3sp0l #h.b >b#jf $:>a*>b* "%$:>ab \[\overline{A'B'} \parallel \overline{AB}\] b3sp0l #h.b >b#jg $$:>t1,; 0.>t1,($5 \[\overline{T_{12} \cap T_{18}}\] #h.b #add b3sp0l #h.b >b#jh $$:2>a 0.>b` 3.2>a 0.>c`' 3.2>b 0.>c`$5 \[\overline{(A \cap B) \cup (A \cap C)\cup (B \cap C)}\] #h.b #ade #h.b #adf #i br84e ======== %8 bru4}ri4 %; bru4anfang %< bru4ende %%< ende s`mtli4er br84e =das zw3te vollz34en i} t3l des sym- bols.= #i.a zahlenbr84e und gemi5te zahlen :::::::::::::::::::::::::::: zahlenbr84e, b3 denen sowohl z`h- ler als 14 nenner 1s positiven gan- zen zahlen be}ehen, werden w0 folgt darge}ellt: der z`hler wird in der }andard- 5r3bw3se ge5r0ben und der nenner in der gesenkten 5r3bw3se ohne 3genes zahlz34en und ohne leerz34en ange- f8gt. #i-#i.a #adg hinw3s: sind in mathemati5en 1sdr8cken zahlenbr84e mit br84en in 3nfa4er oder 1sf8hrli4er 5r3bw3se kombin0rt, so kann 14 f8r zahlenbr84e d0 ent- spre4ende 5r3bw3se gew`hlt werden, um alle br84e 3nh3tli4 zu ge}alten. b3de be}andt3le 3ner gemi5ten zahl, d0 ganze zahl und der zahlen- bru4, werden mit 3nem zahlz34en ver- sehen und ohne leerz34en an3nander ge5r0ben. b3sp0l #i.a >b#ja #a; \[\frac{1}{2}\] b3sp0l #i.a >b#jb #bg:+ \[\frac{27}{36}\] b3sp0l #i.a >b#jc #c/ -#a: =#i,; -#d,; =#e,; \[\frac{3}{4} -\frac{1}{3} =\frac{9}{12} -\frac{4}{12} #i.a #adh =\frac{5}{12}\] b3sp0l #i.a >b#jd ;#aj8-#b< =-#e \[\frac{10}{-2} =-5\] b3sp0l #i.a >b#je #aj; +#aj8-#b =#j oder ;#aj8#b< +;#aj8-#b< =#j \[\frac{10}{2} +\frac{10}{-2} =0\] b3sp0l #i.a >b#jf #d#a/ \[4\frac{1}{4}\] b3sp0l #i.a >b#jg #a#c/ +#b#a: =#ba,; +#bh,;' =#di,; =#d#a,; oder #a#c/ +#b#a:' =#ba,; +#bh,;' =#di,;' =#d#a,; #i.a #adi \[1\frac{3}{4} +2\frac{1}{3} =\frac{21}{12} +\frac{28}{12} =\frac{49}{12} =4\frac{1}{12}\] #i.b 3nfa4e bru45r3bw3se :::::::::::::::::::::::: kommt weder im z`hler no4 im nen- ner 3nes bru4es 3n leerz34en vor, darf 1f d0 an- und abk8ndigung der 1sf8hrli4en bru45r3bw3se verzi4tet werden =s0he (#i.c 1sf8hrli4e bru4- 5r3bw3se)=. das symbol f8r den bru4}ri4 %8 folgt unmittelbar 1f den z`hler. ebenfalls ohne leerz34en 5l0~t der nenner direkt an. d0se ver3nfa4te 5r3bw3se i} 14 dort zul`ssig, wo leerz34en im z`h- ler oder nenner dur4 den zusammen- haltepunkt %" ersetzt werden. s0 3gnet si4 ni4t f8r komplexe 1sdr8- cke, d0 dur4 d0 unterdr8ckung von leerr|men un8bersi4tli4 werden. #i.a-#i.b #aej b3sp0l #i.b >b#ja a8b \[\frac{a}{b}\] b3sp0l #i.b >b#jb a8#b \[\frac{a}{2}\] b3sp0l #i.b >b#jc #a8x|: \[\frac{1}{x^{3}}\] b3sp0l #i.b >b#jd #ex8#cx"-#b \[\frac{5x}{3x -2}\] f8r b3sp0le der 3nfa4en bru45r3b- w3se b3 3nh3ten s0he unter (#d 3nh3- ten) d0 b3sp0le #d.a >b#jb und #d.d >b#je. #i.b #aea #i.c 1sf8hrli4e bru45r3bw3se :::::::::::::::::::::::::::: zahlen- und andere 3nfa4e br84e 1sgenommen, i} d0 1sf8hrli4e bru4- 5r3bw3se zwingend =s0he (#i.a zah- lenbr84e und gemi5te zahlen) sow0 (#i.b 3nfa4e bru45r3bw3se)=, insbe- sondere dann, wenn: '- der z`hler oder der nenner 3n leerz34en enth`lt '- der z`hler mit 3nem operationsz3- 4en beginnt '- 3n bru4 3nen w3teren bru4 enth`lt '- vor oder na4 dem bru4 k3n leerr1m }eht der bru4 wird mit dem bru4anfang- z34en %; 3ngel3tet, das unmittel- bar vor dem z`hler }eht. das unmit- telbar hinter dem nenner }ehende bru4endez34en %< 5l0~t ihn ab. in bezug 1f leerz34en werden d0 bru4an- fang- und '-endez34en w0 klammern behandelt. #i.c #aeb das symbol f8r den bru4}ri4 %8 }eht zwi5en z`hler und nenner. all- gem3n wird es 1f b3den s3ten von leerz34en umgeben. 1f d0 b3den leer- z34en darf nur verzi4tet werden, wenn weder im z`hler no4 im nenner 3n leerz34en vorkommt. es darf ni4t 3n leerz34en b3behalten und 1f das andere verzi4tet werden. das bru4anfangz34en darf ni4t ohne das bru4endez34en verwendet werden und umgekehrt, aber s0he (#i.d mehr- fa4br84e) f8r den ab5luss von mehr- fa4br84en. wenn b3sp0lsw3se das bru4anfangz3- 4en unmittelbar hinter 3nem symbol }eht und 3ne verwe4slung mit dem mark0rungsz34en f8r punkt %; oder der ziffer #b %; in gesenkter 5r3bw3se m9gli4 i}, wird zwi5en d0- sen z34en der zusammenhaltepunk- te %" 3ngef8gt =s0he (#h 3nfa4e und zusammenfassende mark0rungen)=. folgt 3n bu4}abe 1f das bru4ende- z34en, darf d0ses ni4t mit der an- k8ndigung f8r gr04i5e bu4}aben ver- we4selt werden k9nnen. daher wird 3n #i.c #aec lat3ni5er kl3nbu4}abe im an5luss an das bru4endez34en mit punkt #f %' angek8ndigt und zwi5en dem bru4ende- z34en und d0 ank8ndigung f8r gro~- bu4}aben der zusammenhaltepunkt %" 3ngef8gt =s0he (#a.b trennen und zu- sammenhalten mathemati5er 1sdr8cke) sow0 b3sp0le #c.b >b#jf und #aa.c >b#jd'=. hinw3s: entgegen der fr8heren praxis m8s- sen alle zahlen unmittelbar na4 dem bru4}ri4 in der }andard5r3bw3se ge- 5r0ben werden =s0he (#b.a.a zahlen in }andard5r3bw3se)=. b3sp0l #i.c >b#ja ;-a8b< oder ;-a 8 b< \[\frac{-a}{b}\] b3sp0l #i.c >b#jb >a =;hb8#b<m|; \[A =\frac{hb}{2}\text{m}^{2}\] #i.c #aed b3sp0l #i.c >b#jc ;#ex 8 #cx -#b< \[\frac{5x}{3x -2}\] b3sp0l #i.c >b#jd ;#dx|; +#cx -#a 8 2x +#b`" 2x -#a`|;< =a8x"+#b +b8x"-#a' +c82x"-#a`|; oder ;#dx|; +#cx -#a 8 2x +#b`" 2x -#a`|;< =;a 8 x +#b<' +;b 8 x -#a< +;c 8 2x -#a`|;< \[\frac{4x^2 +3x -1}{(x +2)(x -1)^2} =\frac{a}{x +2} +\frac{b}{x -1} +\frac{c}{(x -1)^2}\] b3sp0l #i.c >b#je ;x 8 x|; +y|;<' .2;#bx 8 x +y< -;x -y 8 x<` \[\frac{x}{x^2 +y^2} \cdot \left(\frac{2x}{x +y} -\frac{x -y}{x}\right)\] #i.c #aee b3sp0l #i.c >b#jf x";x +#a 8 x|; -#a< \[x\frac{x +1}{x^{2} -1}\] b3sp0l #i.c >b#jg ;a|; +b|; 8 #c2a -b`<'x \[\frac{a^{2} +b^{2}}{3(a -b)}x\] s0he 14 b3sp0le #ad.b >b#je und #aa.c >b#jd. #i.d mehrfa4br84e ::::::::::::::::: b3 3ner ver5a4telung von br84en muss analog den mathemati5en klam- merregeln jeder bru4 3nzeln mit 3nem bru4anfangz34en 3ngel3tet und mit 3nem bru4endez34en abge5lossen wer- den. enden alle 3ngel3teten br84e an derselben }elle, kann d0 r3he der bru4endez34en dur4 das z34en f8r den ab5luss s`mtli4er br84e %%< er- setzt werden. =anm.: das zw3te voll- #i.c-#i.d #aef z34en i} t3l des symbols.= br84e 1s positiven ganzen zahlen d8rfen 14 innerhalb von anderen br8- 4en in der 8bli4en 5r3bw3se ge5r0ben werden =s0he (#i.a zahlenbr84e und gemi5te zahlen)=. 14 br84e in der 3nfa4en bru45r3bw3se sind m9gli4, jedo4 nur mit gro~er vorsi4t 3nzu- setzen. b3sp0l #i.d >b#ja ;;a8x< 8 ;b8x|:<< \[\frac{a /x}{b /x^{3}}\] oder \[\frac{\frac{a}{x}} {\frac{b}{x^{3}}}\] b3sp0l #i.d >b#jb ;#c/ -#a: 8 #a; +#a: -#a/< \[\frac{\frac{3}{4} -\frac{1}{3}} {\frac{1}{2} +\frac{1}{3} -\frac{1}{4}}\] #i.d #aeg b3sp0l #i.d >b#jc ;u -;#a8u< 8 u -;u 8 u +;#a8u%< \[\frac{u -\frac{1}{u}}{u -\frac{u}{u +\frac{1}{u}}}\] #i.d #aeh #aj projektivte4nik =================== %3 ...... wurzel %| ...... oberer index =hinten= oder exponent %1 ...... unterer index =hinten= %| oder %#| ..... vorderer oberer index %1 oder %#1 ..... vorderer unterer index %$ ...... ank8ndigungsz34en f8r zu- sammenfassende obere mark0rungen % ...... ank8ndigungsz34en f8r zu- sammenfassende untere mark0rungen %5 ...... 5lussz34en f8r 3nfa4e projektive %$ ...... projektivver}`rkungsz34en %! ...... zw3tes projektivver}`r- kungsz34en %$5 bzw. %!5 ..... 5lussz34en f8r ver}`rkte projektive #aj #aei %%5 ..... 5lussz34en f8r s`mtli4e projektive =das zw3te vollz34en i} t3l des z34ens.= in der 5warz5rift wird d0 bed2tung 3nes symbols dur4 ho4- bzw. t0f}el- lung ge`ndert. 3n b3sp0l h0rf8r sind indizes und exponenten. man4e symbo- le k9nnen in d0 l`nge gezogen wer- den, um zu z3gen, w0 w3t ihre wir- kung r34t. d0s i} b3m wurzelz34en und ver50denen mark0rungen der fall. in der braille5rift i} 3ne physi5e ho4- bzw. t0f}ellung 3nes symbols ni4t m9gli4. ebenso kann k3n symbol 8ber andere hinweggezogen werden. daher gr3ft d0 braille5rift 1f 3ne 3gene te4nik zur8ck, um d0selbe be- d2tung 3ndimensional w0derzugeben: d0 projektivte4nik. 3n projektiv wird dur4 braillez3- 4en 3ngel3tet, wel4e d0 ho4- oder t0f}ellung anz3gen bzw. das mathema- ti5e symbol dar}ellen. dar1f folgt der 3gentli4e 1sdruck. d0 wirkung des projektivs gilt bis zum entspre- #aj #afj 4enden abk8ndigungsz34en oder bis s0 dur4 3n anderes z34en oder 3ne ande- re ank8ndigung 1fgehoben wird. es wird braille5riftte4ni5 zwi5en 3nfa4en und ver}`rkten projektiven unter50den. ver}`rkte projektive k9nnen be}immte elemente enthalten, d0 b3 3nfa4en projektiven ni4t zu- l`ssig sind. #aj.a 3nfa4e projektive ::::::::::::::::::::::: 3n 3nfa4es projektiv wird dur4 das z34en f8r das betreffende projektiv 3ngel3tet. es darf k3n leerz34en und k3n w3teres projektiv enthalten. d0 wirkung wird dur4 3nes der folgenden elemente 1fgehoben: '- 3n leerz34en '- das z3lenende'- 1~er b3m z3len- trennz34en %" '- 3nen bru4}ri4 %8 '- 3n 5lussz34en f8r 3n ver}`rktes projektiv '- 3n w3teres projektiv #aj-#aj.a #afa '- das ende 3ner zahl in der gesenk- ten 5r3bw3se '- 3ne 5l0~ende klammer, wenn d0 9ffnende klammer si4 ni4t 14 im projektiv befindet in allen anderen f`llen muss das ende des geltungsber34s mit dem z3- 4en %5 beendet werden. i} das ende des projektivs 14 ohne 5lussz34en 3nd2tig, sorgt das weglassen f8r k8rzere'- und daher gr9~tent3ls 8bersi4tli4ere'- 1sdr8cke. in zw3- felsf`llen i} es jedo4 immer besser, das 5lussz34en zu setzen. um 1f d0 ver}`rkung 3nes projekt- ivs verzi4ten zu k9nnen, m8ssen leerz34en dur4 den zusammenhalte- punkt %" ersetzt werden. d0se te4- nik i} vor allem b3 kurzen 1sdr8cken mit operationsz34en n8tzli4, etwa b3 3nem plusz34en in 3nem exponenten. b3sp0l #aj.a >b#ja x|; +x|n \[x^{2} +x^{n}\] #aj.a #afb b3sp0l #aj.a >b#jb a|;b|:c|/ \[a^{2}b^{3}c^{4}\] b3sp0l #aj.a >b#jc a|x5b|y5c|z \[a^{x}b^{y}c^{z}\] b3sp0l #aj.a >b#jd a|-#c .a|"+#e =a|-#c"+#e =a|#b oder a|-: .a|"+#e =a|-#c"+#e =a|; \[a^{-3} \cdot a^{+5} =a^{-3 +5} =a^{2}\] b3sp0l #aj.a >b#je ;x|n 8 n6< \[\frac{x^{n}}{n!}\] b3sp0l #aj.a >b#jf ;x|#bn"+#a 8 2#bn +#a`6< \[\frac{x^{2n +1}}{(2n +1)!}\] #aj.a #afc #aj.b ver}`rkte projektive :::::::::::::::::::::::::: enth`lt 3n projektiv w3tere pro- jektive, leerz34en oder bru4}ri4e, muss es (ver}`rkt) werden. d0s er- folgt dur4 das setzen des projektiv- ver}`rkungsz34ens %$ vor das z34en f8r das betreffende projektiv. der geltungsber34 des projektivs wird zwingend dur4 3n ver}`rktes 5lussz3- 4en %$5 beendet. ver}`rkte projektive k9nnen 14 ver5a4telt 1ftreten. das |~ere pro- jektiv wird mit %$ als ver}`r- kungsz34en, das er}e innere projek- tiv mit dem alternativver}`rkungsz3- 4en %! 3ngel3tet. b3 jeder w3teren ver5a4telungsebene we4seln si4 d0 b3den ver}`rkungsz34en ab. das jew3- lig zugeh9rige 5lussz34en hebt d0 wirkung des ver}`rkten projektivz3- 4ens 1f. wenn alle projektive an derselben }elle abge5lossen werden sollen, kann das sammel5lussz3- 4en %%5 d0 folge von 5lussz34en #aj.b #afd ersetzen =das zw3te vollz34en i} t3l des z34ens=. b3sp0l #aj.b >b#ja $3x|;$5 =x \[\sqrt{x^{2}} =x\] b3sp0l #aj.b >b#jb n$|;|:$5 =n|( \[n^{2^{3}} =n^{8}\] b3sp0l #aj.b >b#jc =anm.: d0 er}e wurzel 5l0~t den exponenten n mit 3n, d0 zw3te da- gegen ni4t.= x$|n8#b$5 =$3x|n$5 =3x|n \[x^{frac{n}{2}} =\sqrt{x^{n}} =\sqrt{x}^{n}\] b3sp0l #aj.b >b#jd |/$3b.|:!3b|;.3b%5 \[\sqrt[4]{b \cdot \sqrt[3]{b^{2} \cdot \sqrt{b}}}\] #aj.b #afe b3sp0l #aj.b >b#je $zerfallsgesetz': >n =>n1)' .2#a;`$|";#a 8 >t1#a;<$5 \[\text{Zerfallsgesetz:} N =N_{0} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{T_{1/2}}}\] #aj.c indizes und exponenten :::::::::::::::::::::::::::: i} in der 5warz5rift d0 ho4- oder t0f}ellung 3nes oder mehrerer symbo- le von mathemati5er bed2tung, wird d0se in der braillemathematik5rift als (oberer) bzw. (unterer index) gekennz34net. exponenten sind typo- grafi5 ni4t von anderen oberen indi- zes zu unter53den und werden daher =im unter50d zur fr8heren praxis= 14 in der braille5rift mit ,demselben braillez34en 3ngel3tet. #aj.b-#aj.c #aff #aj.c.a hintere indizes und exponenten ::::::::::::::::::::::::::: indizes re4ts vom h1ptsymbol wer- den 14 in der braille5rift unmittel- bar re4ts von d0sem symbol ge5r0ben. s0 werden mit dem z34en f8r 3nen oberen %| bzw. unteren %1 index 3ngel3tet. falls erforderli4, wird d0ses z34en mit 3nem projektiv- ver}`rkungsz34en kombin0rt. i} 3n symbol mit mehreren hinteren zus`tzen versehen, so werden d0se na43nander 8bertragen. jeder zusatz i} 3nzeln 3nzul3ten. 3n allenfalls vorhandener exponent r8ckt an d0 letzte }elle. 3nfa4e mark0rungen sind fe}er be}andt3l des h1ptsymbols und }ehen in der regel vor indizes =s0he (#h.a 3nfa4e mark0rungen)=. b3sp0l #aj.c.a >b#ja ;x|n 8 n6< oder ;x|n8n6< #aj.c.a #afg oder x|n8n6 \[\frac{x^{n}}{n!}\] b3sp0l #aj.c.a >b#jb f1n52x`', f1n"+#a52x` \[f_{n}(x), f_{n +1}(x)\] b3sp0l #aj.c.a >b#jc 2>p1#bn"-#a`|r \[\left(P_{2n -1}\right)^{r}\] b3sp0l #aj.c.a >b#jd e|"+2b#je $zeit1$bob =$zeit1$alice' =;$entfernung 8' $geschwindigkeit< \[\text{Zeit}_{\text{Bob}} =\text{Zeit}_{\text{Alice}} =\frac{\text{Entfernung}} #aj.c.a #afh {\text{Geschwindigkeit}}\] b3sp0l #aj.c.a >b#jf a1n|k =2a1n`|k \[a_{n}^{k} =(a_{n})^{k}\] b3sp0l #aj.c.a >b#jg 2x1n|i`|r \[({x_{n}}^{i})^{r}\] b3sp0l #aj.c.a >b#jh >f$1n1k$52x` \[F_{n_{k}}(x)\] b3sp0l #aj.c.a >b#ji 2x$1n|i$5`|r \[(x_{n^{i}})^{r}\] b3sp0l #aj.c.a >b#aj &s$1#j"9=i"9=m <8 #j"9.j"9.n$5' >p2i', j` oder &s1#j"9=i"9=m51#j"9.j"9.n' >p2i', j` #aj.c.a #afi \[\sum_{\substack{0 \leq i \leq m \\ 0 b#aa ;e$|";x|;8#b<$5 8 3#bb#ab b#ac >k1.i.j|k.l. =g|kr5g|ls5>k1risj \[K_{.i.j}^{k.l.} =g^{kr} g^{ls} K_{risj}\] b3sp0l #aj.c.a >b#ad 2>p$1b#ae -#a;e$|-r|;$5"l1)|>r' =#a;2#a -e$|->r|;$5` \[\left.-\frac{1}{2} e^{-r^{2}} \right|_{0}^{R} =\frac{1}{2} (1 -e^{-R^2})\] b3sp0l #aj.c.a >b#af e$|b#ag #l1t":,#a ;t|b#ja |:3#h =#b \[\sqrt[3]{8} =2\] b3sp0l #aj.c.b >b#jb |,)6l#c \[^{10}\log 3\] #aj.c.b #agb b3sp0l #aj.c.b >b#jc 1i|j5m \[_{i}^{j}m\] b3sp0l #aj.c.b >b#jd x.|n"+#a3y \[x \cdot \sqrt[n +1]{y}\] b3sp0l #aj.c.b >b#je x#|n"+#a3y \[x \sqrt[n+1]{y}\] b3sp0l #aj.c.b >b#jf >a$|x#|n"+#a3y$5 \[A^{x \sqrt[n +1]{y}}\] b3sp0l #aj.c.b >b#jg |a56l'x =|a56l'b .|b56l'x \[^{a}\log x =^{a}\log b \cdot ^{b}\log x\] b3sp0l #aj.c.b >b#jh a.$|n8m$5$3y8x$5 \[a \cdot #aj.c.b #agc \sqrt[\frac{n}{m}]{\frac{y}{x}}\] #aj.c.c indizes 1s ganzen zahlen :::::::::::::::::::::::::::::::: be}eht 3n index ledigli4 1s 3ner ganzen zahl, kann d0se ohne zahlz3- 4en ange5lossen in der gesenkten 5r3bw3se an das indexz34en ge5r0ben werden. b3 negativen zahlen wird das minusz34en ohne zusammenhalte- punkt %" zwi5en dem indexz34en und der zahl 3ngef8gt. soll d0 positive 3gen5aft der zahl dur4 3n plusz34en betont werden, muss dagegen d0 }an- dard5r3bw3se zur anwendung kommen und das plusz34en dur4 den zusammen- haltepunkt %" vom indexz34en ge- trennt werden. na4 der zahl in gesenkter 5r3bw3se bedarf es k3nes projektiv5lussz3- 4ens, da das ende 3nes 3nfa4en pro- jektivs mit dem ende 3ner zahl in der gesenkten 5r3bw3se 3nhergeht. #aj.c.b-#aj.c.c #agd b3sp0l #aj.c.c >b#ja a|;b|:c \[a^{2}b^{3}c\] b3sp0l #aj.c.c >b#jb a1,,a1;; -a1,;a1;, \[a_{11}a_{22} -a_{12}a_{21}\] b3sp0l #aj.c.c >b#jc f1,2u1,', u1;` \[f_{1}(u_{1}, u_{2})\] b3sp0l #aj.c.c >b#jd x|"+#c5x|-: =x|) =#a \[x^{+3}x^{-3} =x^{0} =1\] b3sp0l #aj.c.c >b#je ;x|: 8 #c6< oder ;x|:8#c6< \[\frac{x^{3}}{3!}\] #aj.c.c #age #aj.d wurzeln und zus`tze ::::::::::::::::::::::::: quadratwurzeln =ohne qualifiz0ren- de zahl #b'= werden mit dem symbol f8r wurzeln =ggf. mit 3nem projek- tivver}`rkungsz34en kombin0rt= 3nge- l3tet. das projektiv 5l0~t alle sym- bole 3n, d0 si4 in der 5warz5rift- dar}ellung unter dem wurzel}ri4 be- finden. zahlen, d0 anz3gen, dass es si4 um 3ne dritte, v0rte oder andere wurzel handelt, werden als vordere obere indizes am wurzelz34en darge}ellt. b3sp0l #aj.d >b#ja 3#b; =3#a \[\sqrt{\frac{2}{2}} =\sqrt{1}\] b3sp0l #aj.d >b#jb 3a"+b \[\sqrt{a +b}\] #aj.d #agf b3sp0l #aj.d >b#jc $3a2x -#c`|;$5 \[\sqrt{a(x -3)^{2}}\] b3sp0l #aj.d >b#jd $3#b3#b$5 =3#b .|/3#b \[\sqrt{2 \sqrt{2}} =\sqrt{2} \cdot \sqrt[4]{2}\] b3sp0l #aj.d >b#je u =|:$3-q8#b +-!32p8#c`|:' +2q8#b`|;%5 \[u =\sqrt[3]{-\frac{q}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{3}\right)^{3} +\left(\frac{q}{2}\right)^{2}}}\] #aj.d #agg #aj.d #agh #aa analysis ============ %#% unendli4 =das zw3te vollz34en i} t3l des symbols.= %&s summenz34en %&p produktz34en %1 untere grenze =hinterer unte- rer index= %| obere grenze =hinterer oberer index= %) verkn8pft mit =kr3s, kuller= %6l logarithmus %6(l logarithmus naturalis %6/l logarithmus dualis %6,l antilogarithmus %6:l erg`nzungs- oder komplemen- t`rlogarithmus %6e exponentialfunktion %6n numerus %6{ argument %~ integral %~~ doppelintegral %~) uml1fintegral %~~) h8llenintegral %~<: unteres integral #aa #agi %~: oberes integral %>~ integral besonderer art %"l integral}ri4 %* abl3tungs}ri4 %; abl3tungspunkt %"d rundes d =f8r partielle abl3- tung= %&d gro~es delta als differenzz3- 4en %#l limes %#l<: limes inferior %#l: limes superior #aa.a funktionen :::::::::::::::: %#% unendli4 =das zw3te vollz34en i} t3l des symbols.= %&s summenz34en %&p produktz34en %1 untere grenze =unterer index= %| obere grenze =oberer index= %) verkn8pft mit =kr3s, kuller= b3m summen- und produktz34en wer- den untere und obere grenzen gem`~ #aa-#aa.a #ahj der vorlage als untere und obere in- dizes w0dergegeben. der spre4w3se folgend wird in der braille5rift zu- n`4} d0 untere grenze angegeben. vor dem 1f d0 grenzangaben folgenden 1s- druck }eht 8bli4erw3se 3n leerz34en. b3sp0l #aa.a >b#ja &s a1b#jb &s1b#jc &s$1k1, =#a$5$|n1,$5 \[\sum_{k_{1} =1}^{n_{1}}\] #aa.b logarithmus- und exponentialfunktionen ::::::::::::::::::::::::::: %6l logarithmus #aa.a-#aa.b #aha %6(l logarithmus naturalis %6/l logarithmus dualis %6,l antilogarithmus %6:l erg`nzungs- oder komplement`r- logarithmus %6e exponentialfunktion %6n numerus %6{ argument d0 oben 1fgef8hrten symbole werden gl34erma~en f8r alle varianten der betreffenden kurzwortsymbole in der 5warz5rift verwendet. d0 symbole in der braille5rift }ehen ebenfalls so- wohl f8r gro~- als 14 f8r kl3nge5r0- bene kurzwortsymbole. beginnt das argument mit 3nem an- k8ndigungsz34en =zum b3sp0l f8r zah- len oder gro~- bzw. kl3nbu4}aben=, darf es an das symbol an5l0~en. in anderen f`llen muss 3n leerz34en zwi5en symbol und argument }ehen. es i} grunds`tzli4 zul`ssig, d0se symbole mit dem allgem3nen 3nl3- tungsz34en f8r kurzwortsymbole %7 und den in der 5warz5rift 8bli4en bu4}aben zu bilden. zum b3sp0l kann #aa.b #ahb f8r %6l 14 %7log ge5r0ben werden =s0he (#c.f kurzwortsymbole)=. d0se 1sdr8cke sind l`nger, k9nnen jedo4 dort zweckm`~ig s3n, wo gro~- und kl3nge5r0bene kurzwortsymbole unter- 50den werden, 3ne engere 8ber3n}im- mung mit der 5warz5rift gewahrt wer- den soll oder b3m lesenden 3ne ver- tr1th3t mit ver3nzelt vorkommenden symbolen ni4t vor1sgesetzt werden kann. b3sp0l #aa.b >b#ja |,)6l#c \[^{10}\log 3\] b3sp0l #aa.b >b#jb 6(l 2#c -x` \[\ln (3 -x)\] b3sp0l #aa.b >b#jc |a56l'x =|a56l'b .|b56l'x \[^{a}\log x =^{a}\log b \cdot ^{b}\log x\] #aa.b #ahc b3sp0l #aa.b >b#jd 6e* 2z` =6e 2z` \[\exp'(z) =\exp (z)\] b3sp0l #aa.b >b#je 6e'z :=&s1k"=#j|#% ;z|k8k6< \[\exp z :=\sum_{k =0}^{\infty} \frac{z^{k}}{k!}\] #aa.c integral- und differentialre4nung ::::::::::::::::::::::::: %~ integral %~~ doppelintegral %~) uml1fintegral %~~) h8llenintegral %~<: unteres integral %~: oberes integral %>~ integral besonderer art %1 untere grenze =unterer index= %| obere grenze =oberer index= %"l integral}ri4 %* abl3tungs}ri4 %; abl3tungspunkt #aa.b-#aa.c #ahd %"d rundes d =f8r partielle abl3- tung= %&d gro~es delta als differenzz3- 4en %#l limes %#l<: limes inferior %#l: limes superior untere und obere grenzen werden gem`~ der vorlage als untere und obere indizes w0dergegeben. der spre4w3se folgend gibt man zun`4} d0 untere grenze an. vor dem dar1f fol- genden 1sdruck }eht 8bli4erw3se 3n leerz34en. b3sp0l #aa.c >b#ja ~1a|b ... \[\int_{a}^{b} ...\] b3sp0l #aa.c >b#jb ~$1x1k"-#a$5$|x1k"+#a$5 \[\int_{x_{k -1}}^{x_{k +1}}\] #aa.c #ahe b3sp0l #aa.c >b#jc >a =~1)|: x|;dx' ="l#a:x|:"l1)|: \[A =\int_{0}^{3} x^{2}dx =\left| \frac{1}{3} x^{3} \right|_{0}^{3}\] b3sp0l #aa.c >b#jd e$|b#je #l1n":,#%', #l1h":,#j \[\lim_{n \to \infty}, \; \lim_{h \to 0}\] b3sp0l #aa.c >b#jf e$|#l!1x :,x1)!5 f2x`$5 \[e^{\lim_{x \to x_{0}} f(x)}\] #aa.c #ahf #ab mengenlehre =============== %!{ ge5w3fte 9ffnende klammer %!} ge5w3fte 5l0~ende klammer %$$n menge der nat8rli4en zahlen %$$z menge der ganzen zahlen %$$q menge der rationalen zahlen %$$r menge der reellen zahlen %$$c menge der komplexen zahlen %$$h menge der quaternionen %$$p projektive gerade %&o leere menge %&a aleph %&, f8r alle %&? es gibt %&e i} element von'* %*&e i} ni4t element von'* %&* hat zum element'* %2. i} enthalten in, i} t3lmenge von'* %2= i} enthalten in oder gl34'* %`, enth`lt, i} obermenge von'* %`= enth`lt oder i} gl34'* %3. ver3nigt mit'* %0. ge5nitten mit'* #ab #ahg %1. vermindert um, ohne'* %|. symmetri5e differenz'* %( cartesi5es produkt =malkr2z='* %"l senkre4ter }ri4, so dass %* }ri4 als mark0rung f8r komple- ment`re mengen %|c ho4ge}elltes c als mark0rung f8r komplement`re mengen '* vor d0sen symbolen i} 3n leerz3- 4en zu setzen, na4 ihnen dagegen ni4t =s0he (#e operations- und relationsz34en)=. d0 symbole f8r d0 }andardmengen =menge der nat8rli4en zahlen, der ganzen zahlen usw.= sind fe}e gebil- de 1s dr3 braillez34en. s0 sind ni4t als bu4}aben mit ank8ndigung zu ver}ehen. `hnli4e symbole, d0 h0r ni4t 1fgeli}et sind, d8rfen analog gebildet werden. b3sp0l #ab >b#ja >a 3.>b \[A \cup B\] #ab #ahh b3sp0l #ab >b#jb >l 1.2>m 0.>n`' =2>l 1.>m` 3.2>l 1.>n` \[L \setminus (M \cap N) =(L \setminus M) \cup (L \setminus N)\] b3sp0l #ab >b#jc >a |.>b =>b |.>a \[A \triangle B =B \triangle A\] b3sp0l #ab >b#jd >a 0.>u =!{#c', #e', #g!} \[A \cap U =\{3,5,7\}\] b3sp0l #ab >b#je !{rot', gr8n!} 3.!{gelb',' blau!} =!{rot', gr8n', gelb',' blau!} \[\{\text{rot, grn}\} \cup \{\text{gelb, blau}\} =\{\text{rot, grn, gelb, blau}\}\] #ab #ahi b3sp0l #ab >b#jf !{gerade $zahlen!} 0.!{ungerade' $zahlen!} =&o \[\{\text{gerade Zahlen}\} \cap \{\text{ungerade Zahlen}\} =\varnothing\] b3sp0l #ab >b#jg &,x &e>b \[\forall x \in B\] b3sp0l #ab >b#jh 2>a |.>b`|c =>a|c 3.>b \[(A \triangle B)^{c} =A^{c} \cup B\] b3sp0l #ab >b#ji $$n 2=$$z 2=$$q \[\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}\] #ab #aij #ac logik ========= %0, und %3, oder %:* ni4t %==o pf3l na4 re4ts mit doppeltem 5aft und 3nfa4er spitze =implikationspf3l= %9==o doppelpf3l mit doppeltem 5aft =`quivalenzpf3l= d0 symbole f8r (und), (oder) und (ni4t) werden na4 3nem leerz34en, ange5lossen an das folgende z34en ge5r0ben =s0he (#e operations- und relationsz34en)=. d0 implikations- und `quivalenz- pf3le }ehen zwi5en leerz34en. dur4- ge}ri4ene pf3le werden als modulare pf3le darge}ellt =s0he (#g.a modula- re pf3le)=. b3sp0l #ac >b#ja #c teilt x 0,x 9=#aj #ac #aia oder in voll- bzw. kurz5rift: #c t3lt x 0,x 9=#aj bzw.: #c '.t3lt'. x 0,x 9=#aj \[3 \; \text{teilt} \; x \land x \leq 10\] b3sp0l #ac >b#jb >a ::o >b 9==o :*>a 3,>b \[A \rightarrow B \Leftrightarrow \lnot A \lor B \] #ac #aib #ad geometr0, trigonometr0 und vektoren ============================== #ad.a geometri5e symbole :::::::::::::::::::::::: %7/ dr3eck %7) kr3s %7= quadrat %7% re4teck =das zw3te vollz34en i} t3l des symbols.= %7? rhombus %7+ parallelogramm %7* dur4messer %79 winkel %7( re4ter winkel %7:, im uhrz3gersinn %7!: gegen den uhrz3gersinn %$: zusammenfassende mark0rung f8r }recke =waagre4ter }ri4 8ber mehreren bu4}aben= %$2 zusammenfassende mark0rung f8r bogen =bogen 8ber mehreren symbolen= #ad-#ad.a #aic %$:, zusammenfassende mark0rung f8r vektor =pf3l 8ber mehreren symbolen= %:, mark0rung f8r vektor =pf3l 8ber 3nem symbol= %#. senkre4t 1f %"% parallel zu =das zw3te vollz3- 4en i} t3l des symbols.= d0 mit 5l8sselz34en %7 gebilde- ten symbole k9nnen mit oder ohne vorangehendem und!,oder folgendem leerz34en ge5r0ben werden. s0 m8ssen jedo4 klar von unmittelbar re4ts ne- ben ihnen }ehenden bu4}aben, zum b3- sp0l dur4 3n ank8ndigungsz34en f8r gro~- bzw. kl3n5r3bung, getrennt werden. zusammenfassende mark0rungen 8ber mehreren symbolen }ehen unmittelbar vor dem er}en d0ser symbole und sind projektive. das ende der mark0rung ge}altet si4 na4 den allgem3nen re- geln f8r projektive =s0he (#aj pro- jektivte4nik)=. d0 symbole f8r (senkre4t 1f) und (parallel zu) sind relationsz34en #ad.a #aid =s0he (#e operations- und relations- z34en)=. b3sp0l #ad.a >b#ja 7=>abcd \[\square ABCD\] b3sp0l #ad.a >b#jb 79>pqr =#cj") \[\angle PQR\ =30^{\circ}\] #ad.b winkel-, hyperbelfunktionen und umkehrungen :::::::::::::::::::::::::::: %6a arkus %6s sinus %6c kosinus %6t tangens %68 kotangens %6- sekans %62 kosekans %6,s arkussinus %6,c arkuskosinus #ad.a-#ad.b #aie %6,t arkustangens %6,8 arkuskotangens %6,- arkussekans %6,2 arkuskosekans %6(s sinus hyperbolicus %6(c kosinus hyperbolicus %6(t tangens hyperbolicus %6(8 kotangens hyperbolicus %6,(s areasinus hyperbolicus %6,(c areakosinus hyperbolicus %6,(t areatangens hyperbolicus %6,(8 areakotangens hyperbolicus d0se symbole gelten f8r alle va- rianten der betreffenden kurzwort- symbole in 5warz5rift, zum b3sp0l f8r tangens in der 5r3bw3se (tan) oder ('tg). ebenfalls gilt das sym- bol sowohl f8r gro~- als 14 f8r kl3nge5r0bene kurzw9rter. beginnt das argument mit 3nem an- k8ndigungsz34en =w0 f8r zahlen oder gro~- bzw. kl3nbu4}aben=, darf es an das symbol an5l0~en. in anderen f`l- len muss 3n leerz34en zwi5en symbol und argument gesetzt werden. #ad.b #aif es i} zul`ssig, d0se symbole mit dem allgem3nen 3nl3tungsz34en f8r kurzwortsymbole %7 und den in der 5warz5rift 8bli4en bu4}aben w0derzu- geben. so ent}ehende 1sdr8cke sind l`nger, k9nnen jedo4 dort zweckm`~ig s3n, wo 3ne engere 8ber3n}immung mit der 5warz5rift erforderli4 i} oder 3ne vertr1th3t mit ver3nzelt vorkom- menden symbolen ni4t vor1sgesetzt werden kann. d0 symbole sind }ruktur0rt 1fge- b1t. kotangens, sekans und kosekans sind mathemati5e kehrwerte von tan- gens, kosinus und sinus. d0s wird dur4 d0 sp0gelung des zw3ten z34ens um d0 horizontale a4se darge}ellt. d0 hyperbelfunktionen werden dur4 den 3n5ub des z34ens %( =3n t0f- ge}elltes h f8r (hyperbolicus)= ge- bildet. b3 den trigonometri5en funk- tionen bed2tet 3n 3nge5obenes, t0f- ge}elltes a %, (arkus...), b3 den hyperbelfunktionen (area...). #ad.b #aig b3sp0l #ad.b >b#ja 6s#cj") =#j,e \[\sin 30^{\circ} =0,5\] b3sp0l #ad.b >b#jb 6t'x =;6s'x 8 6c'x< oder 6t'x =;6s'x86c'x< \[\tan x =\frac{\sin x}{\cos x}\] b3sp0l #ad.b >b#jc 6s ;b#jd 6s 2x +y` =6s'x.6c'y +6c'x.6s'y \[\sin (x +y) =\sin x \cdot \cos y +\cos x \cdot \sin y\] b3sp0l #ad.b >b#je 6sb#jf 6,t#a =b#jg 6c#bb#ja a:,.b:, \[\vec{a} \cdot \vec{b}\] b3sp0l #ad.c >b#jb x:, =2xyz` \[\vec{x} =(x \; y \; z)\] b3sp0l #ad.c >b#jc y:, =2#a<8#b<8#c` \[\vec{y} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)\] b3sp0l #ad.c >b#jd >m:,1d \[\vec{M} _{d}\] b3sp0l #ad.c >b#je $:>ab bzw. $:,>ab \[\overline{AB} \; \text{bzw.} \; \vec{AB}\] #ad.c #bja b3sp0l #ad.c >b#jf 6d >v:, =&n:,.>v:, ="d>v1,8"dx' +"d>v1;8"dy +"d>v1:8"dz \[\text{div} \vec{V} =\vec{\nabla} \cdot \vec{V} =\frac{\partial V_{1}}{\partial x} +\frac{\partial V_{2}}{\partial y} +\frac{\partial V_{3}}{\partial z}\] b3sp0l #ad.c >b#jg '<=im folgenden werden fett ge- druckte bu4}aben mit den punkten #d,e,f % und goti5e mit punkt #e %! gekennz34net.'<= >k|) =!b.6r!t in kurz5rift: '<=- fgcdc ,wc fett &d$( bu4}abc t e ptc #d,e,f % u goti5e t pt #e %! &kcnz34net.'<= >k|) =!b.6r!t \[\mathbf{K}^{0} =\mathfrak{b} \cdot \text{rot} \; \mathfrak{t}\] #ad.c #bjb #ae platzhalter und horizontale zusammenfassungen =============================== #ae.a platzhalter ::::::::::::::::: platzhalter werden vor allem in lehrwerken verwendet. gew9hnli4 }e- hen s0 an der }elle von ziffern, zahlen oder anderen symbolen, d0 es her1szufinden gilt. 1fgrund ihrer v0lf`ltigen verwendungs- und er53- nungsformen lassen s0 si4 ni4t ab- 5l0~end defin0ren. es wird deswegen h0r nur b3sp0lhaft 1fgez3gt, w0 platzhalter darge}ellt werden k9n- nen. da f8r platzhalter weder symbole no4 vorgehensw3sen }andardis0rt sind, m8ssen 8bertragende ihre ge- w`hlten dar}ellungen jew3ls in braille5riftte4ni5en anmerkungen er- l|tern. #ae-#ae.a #bjc es empf0hlt si4, b3 der wahl der symbole dar1f zu a4ten, dass s0 braille5riftte4ni5 w0 d0 elemente gehandhabt werden k9nnen, d0 s0 dar}ellen. so sollen b3sp0lsw3se platzhalter f8r operationssymbole wom9gli4 14 w0 operationssymbole 1f 3n leerz34en folgen und ans n`4}e z34en an5l0~en. b3sp0l #ae.a >b#ja #g +... =#ae oder '<=das vollz34en }eht f8r d0 3nzusetzende zahl.'<= #g +% =#ae \[7 +... =15\] b3sp0l #ae.a >b#jb '<=legende: 7= w3~es quadrat 7= 5warzes quadrat 7/ w3~es dr3eck 7/ 5warzes dr3eck'<= 2a 7=b` 7/2a 7/b` 7=c =#b'b \[(a \square b) \blacktriangle (a #ae.a #bjd \triangle b) \blacksquare c =2b\] #ae.b horizontale zusammenfassungen und l0gende klammern ::::::::::::::::::::::::::: %&: ..... ank8ndigungsz34en f8r ho- rizontale zusammenfas- sungen %&'=...'= abk8ndigungsz34en f8r ho- rizontale zusammenfas- sungen mit erl|terung als text %&2...` abk8ndigungsz34en f8r ho- rizontale zusammenfas- sungen mit erl|terung als mathemati5er 1s- druck in der 5warz5rift erfolgt d0 mar- k0rung mehrerer terme zur erl|terung 3nes mathemati5en 1sdrucks h|fig dur4 l0gende klammern oder dur4 ty- pografi5e hervorhebungen =farbe, #ae.a-#ae.b #bje fettdruck oder `hnli4es=. derartige zusammenfassungen k9nnen in der mathematik5rift w0 folgt w0- dergegeben werden: '- unmittelbar vor dem zusammenge- fassten 1sdruck wird das z3- 4en %&: gesetzt. '- unmittelbar na4 dem zusammenge- fassten 1sdruck }eht das z3- 4en %& zusammen mit der erl|te- rung =oder 3ne be5r3bung= in klammern. '- je na4dem, ob d0 erl|terung als text- oder als mathemati5er 1s- druck ge5r0ben wird, }eht s0 in text- oder mathemati5en klammern. '- l0gende klammern werden ni4t di- rekt w0dergegeben. in v0len f`llen i} d0 w0dergabe mit d0ser te4nik zwar m9gli4, andere '- ni4t }andardis0rte'- te4niken k9nnen jedo4 zweckm`~iger s3n, etwa w3l das 3n50ben der erl|terung d0 8bersi4tli4k3t reduz0rt'- und gerade deswegen das z0l der zusammenfassung in der 5warz5rift verfehlt. #ae.b #bjf b3sp0le f8r alternativte4niken sind: '- d0 separate 1fli}ung der mark0r- ten terme in 3ner art legende und '- d0 zergl0derung 3nes komment0rten re4en5ritts in mehrere t3l5ritte. b3sp0l #ae.b >b#ja a.b =&:a +a +... +a&'='b-mal'= \[a \cdot b =\underbrace{a +a +... +a}_{b-\text{mal}}\] b3sp0l #ae.b >b#jb '<=im folgenden 1sdruck sind #j,be und 3#c exakte werte, #j,dcc der n`herungswert.'<=' >a =#j,be.3#c5.s|; ??#j,dccs|; oder in kurz5rift: '<=- fgcdc |d$ sd #j,be u !,3#c'. xak( w7(, #j,dcc r n`h7us- w7t.'<=' >a =#j,be.3#c5.s|; ??#j,dccs|; \[A =\underbrace{0.25}_{exakte} \cdot \underbrace{\sqrt{3}}_{Werte} \cdot s^{2} \approx #ae.b #bjg \underbrace{0.433} _{N„herungswert} s^{2}\] b3sp0l #ae.b >b#jc &s1k"=#a|n &:6c 2b#jd ~1)|#bx .................... #aa #a grundlegende te4niken zur 8bertragung von mathematik #ae #a.a we4sel zwi5en text- und mathematik5rift ......... #ae #a.a.a layout ............. #af #a.a.b an- und abk8ndi- gungsz34en f8r mathema- tik5rift .............. #ba #a.a.c an- und abk8ndi- gungsz34en f8r text- 5rift ................. #bd #a.a.d doppelleerz34ente4- nik ................... #be inhaltsverz34nis >i #a.a.e hinw3se zum 3nsatz der 5riftwe4selte4niken #bi #a.b trennen und zusammenhal- ten mathemati5er 1sdr8cke #cb #a.c anmerkungen zur braille- 5rift8bertragung ........ #cd #b ziffern und zahlen ......... #cg #b.a arabi5e ziffern und zah- len ..................... #cg #b.a.a zahlen in }andard- 5r3bw3se .............. #ch #b.a.b zahlen in gesenkter 5r3bw3se .............. #da #b.a.c dezimalbr84e ....... #dd #b.a.d periodi5e dezimal- br84e ................. #df #b.a.e gl0derung langer zahlen ................ #dg #b.a.f ordnungszahlen, de- zimalklassifikatoren, daten und uhrz3ten .... #di #b.b r9mi5e zahlen .......... #eb #c bu4}aben und satzz34en ..... #ee #c.a vorbemerkung zur kenn- z34nung von bu4}aben .... #ee #c.b gro~- und kl3n5r3bung lat3ni5er bu4}aben ...... #ef inhaltsverz34nis >ii #c.c gr04i5e bu4}aben ....... #ei #c.d besondere typografi5e 1sz34nungen ............. #fe #c.e bu4}aben`hnli4e symbole #gj #c.f kurzwortsymbole ........ #gd #c.g satzz34en .............. #gg #c.h text in der mathematik- 5rift ................... #gh #d 3nh3ten .................... #ha #d.a kennz34nung von 3nh3ten- symbolen ................ #ha #d.b prozent, promille ...... #hc #d.c winkel- und temperatur- ma~e .................... #hc #d.d 3nh3tensymbole 1s bu4}a- ben ..................... #hd #d.e vergr9~erungs- und ver- kl3nerungspr`fixe ....... #hg #d.f w`hrungssymbole ........ #ij #e operations- und relationsz3- 4en ....................... #ic zw3ter band ::::::::::: #f klammern und senkre4te }ri4e #ajc #f.a allgem3nes zu klammern #aje #f.b 3nfa4e klammern ........ #aje inhaltsverz34nis >iii #f.c spezielle braille5rift- klammern ................ #ajh #f.d mehrz3lige klammer1sdr8- cke ..................... #aaa #f.e senkre4te }ri4e ........ #aag #f.f textklammern in der ma- thematik ................ #abj #g pf3le ...................... #abc #g.a modulare pf3le ......... #abc #g.b defin0rte pf3le ........ #abi #g.c be5riftung von pf3len .. #aca #h 3nfa4e und zusammenfassende mark0rungen ............... #ace #h.a 3nfa4e mark0rungen ..... #aci #h.b zusammenfassende mark0- rungen .................. #adb #i br84e ...................... #adg #i.a zahlenbr84e und gemi5te zahlen .................. #adg #i.b 3nfa4e bru45r3bw3se .... #aej #i.c 1sf8hrli4e bru45r3bw3se #aeb #i.d mehrfa4br84e ........... #aef #aj projektivte4nik ........... #aei #aj.a 3nfa4e projektive ..... #afa #aj.b ver}`rkte projektive .. #afd #aj.c indizes und exponenten #aff #aj.c.a hintere indizes und inhaltsverz34nis >iv exponenten ............ #afg #aj.c.b vordere indizes ... #agb #aj.c.c indizes 1s ganzen zahlen ................ #agd #aj.d wurzeln und zus`tze ... #agf #aa analysis .................. #agi #aa.a funktionen ............ #ahj #aa.b logarithmus- und expo- nentialfunktionen ....... #aha #aa.c integral- und differen- tialre4nung ............. #ahd #ab mengenlehre ............... #ahg #ac logik ..................... #aia #ad geometr0, trigonometr0 und vektoren .................. #aic #ad.a geometri5e symbole .... #aic #ad.b winkel-, hyperbelfunk- tionen und umkehrungen .. #aie #ad.c vektoren .............. #aii #ae platzhalter und horizontale zusammenfassungen ......... #bjc #ae.a platzhalter ........... #bjc #ae.b horizontale zusammen- fassungen und l0gende klammern ................ #bje inhaltsverz34nis >v dritter band :::::::::::: anh`nge ....................... #baa >a#a 5riftli4e re4enverfahren 8ber mehrere z3len ........ #baa >a#a.a addition ............. #bae >a#a.b subtraktion .......... #bag >a#a.c multiplikation ....... #bai >a#a.d division ............. #bba >a#a.e lineare addition ..... #bbc >a#a.f das l9sen von gl34un- gen ..................... #bbf >a#b `nderungen in der mathematik5rift ........... #bbi >a#b.a ge`nderte symbole .... #bbi >a#b.b n2e symbole .......... #bcj >a#b.c zahlen ............... #bcb >a#b.d exponenten und indizes #bcc >a#b.e br84e ................ #bcc >a#b.f bu4}aben ............. #bcd >a#b.g klammern und senkre4te }ri4e ................... #bce >a#b.h 3nh3ten .............. #bcg >a#b.i pf3le ................ #bcg >a#b.aj projektivte4nik ..... #bch >a#b.aa we4sel zwi5en text- und mathematik5rift ..... #bch inhaltsverz34nis >vi >a#b.ab son}iges ............ #bci >a#c glossar .................. #bda >a#d mathemati5e z34en, geord- net na4 der #f-punkte- braille-tabelle ........... #bea >a#e alphabeti5es sa4regi}er .. #bha inhaltsverz34nis >vii inhaltsverz34nis >viii anh`nge ======= >a#a 5riftli4e re4enverfahren 8ber mehrere z3len ============================= allen 5riftli4en re4enverfahren i} gem3nsam, dass d0 ziffern der be- treffenden zahlen in 3n r|mli4es verh`ltnis zu3nander ge}ellt werden. d0s erl34tert das 1sw`hlen der je- w3ls zu manipul0renden zahlent3le. weder d0 dar}ellungspraxen no4 d0 ihnen zugrunde l0genden algorithmen sind jedo4 universell. 14 innerhalb des d2t5en spra4r1ms sind s0 ni4t 3nh3tli4. in der braille5rift verfolgen 5riftli4e re4enverfahren d0selben z0le w0 in der 5warz5rift. zum3} sp0geln ihre dar}ellungsw3se und al- gorithmen den 5warz5riftgebr14 wi- der. zur illu}ration k9nnte sogar 3n re4enverfahren der 5warz5rift in >a#a #baa braille5rift abgebildet und erl|tert werden. d0 medialen unter50de der braille- und 5warz5rift f8hren in der t`gli4en praxis zu geringen unter50den in den jew3ligen verfah- ren. zum b3sp0l: '- mit dem kugel5r3ber kann man l34t von 3ner z3le zur anderen sprin- gen. um mit der braille5riftma5i- ne ern2t 1f 3ne fr8here z3le zu we4seln, muss das pap0r zur8ck- gedreht werden. 1fgrund me4ani5er ungen1igk3ten der ma5ine verrut- 5en n2e z34en bezogen 1f 5on ge- 5r0bene. zudem k9nnen d0 z34en der na4folgenden z3len solange ni4t gelesen werden, bis das pap0r her1sgedreht wird und d0 z3len w0der er53nen. 1s d0sen gr8nden werden h|fig verfahren gew`hlt, d0 k3n zur8ckdrehen des pap0rs erfordern. '- in der 5warz5rift k9nnen zahlen bzw. ziffern dur4ge}ri4en und n2e unmittelbar dar8ber oder darunter ge5r0ben werden. 14 das not0ren von 8bertragszahlen 1f engem r1m >a#a #bab i} unproblemati5. sol4e verfahren '- d0 14 b3m k8rzen von br84en anwendung finden'- sind in der braille5rift nur 3nge5r`nkt m9g- li4. '- gewisse braille5riftsymbole sind er} erkennbar, wenn ihre position innerhalb der brailleform 3nd2tig i}. besonders in bezug 1f 5rift- li4e re4enverfahren sind punkt #a =ziffer #a'=, punkt #b =dezimal- komma= und punkt #c =gl0derungs- z34en= als potenzielle (}olper}3- ne) zu erw`hnen. dur4 vertikale bewegungen der finger, d0 in 5riftli4en re4enverfahren unver- m3dli4 sind, wird d0 punktr3he innerhalb der form no4mals 5w0ri- ger zu erkennen. 14 deswegen wird b3 5riftli4en re4enverfahren in der braille5rift h|figer 1f gl0- derungsz34en verzi4tet als in der 5warz5rift. '- d0 dar}ellung von zahlen mit zahlz34en w34t prinzipiell von der 5warz5rift ab und bedingt 3gene 8berlegungen. zahlz34en un- >a#a #bac mittelbar vor zahlen f8hren dazu, dass s0 oft in ziffernspalten =zum b3sp0l in der hunderter- spalte= }ehen und das klare re- 4enbild }9ren. deswegen werden s0 oft mit ab}and zu den na4folgen- den ziffern ge5r0ben oder gar weggelassen. da d0 grundopera- tionsz34en d0selbe form =aber ni4t position in der brailleform= haben w0 ziffern, erl34tert ihre platz0rung direkt vor 3nem zahl- z34en d0 positionserkennung und daher d0 unter53dung von ziffern. wenn 3n kind das dezimalkomma oft mit der ziffer #a verwe4selt, kann es zweckm`~ig s3n, 3ne z3t lang in re4nungs1f}ellungen 3n vollz34en an}elle des kommas zu 5r3ben. es werden mehrere varianten f8r 5riftli4e re4enverfahren in der braille5rift gez3gt, ohne dass ihnen vor5r3bender 4arakter zukommt. als b3sp0l 3nes von der 5warz5rift markant abw34enden verfahrens wird zudem d0 lineare addition erl|tert. >a#a #bad >a#a.a addition ::::::::::::::: b3 der addition von ganzen zahlen sind nur kl3ne unter50de in den ver- 50denen dar}ellungsformen in der braille- und 5warz5rift zu verz34- nen. s0 betreffen vor allem d0 plat- z0rung der zahlz34en, d0 w0derholung des plusz34ens und d0 unter}r34ung des ergebnisses. b3 gr9~eren zahlen werden gl0de- rungsz34en =t1sendertrennz34en= mit vort3l weggelassen, w3l s0 l34t mit 3ner ziffer #a verwe4selt werden k9nnen. da es in braille5rift te4ni5 5w0- riger i}, werden 8bertragszahlen ni4t so oft not0rt w0 in der 5warz- 5rift. 3nen gegen}and 1f dem ti5 zu platz0ren oder zu ver50ben kann zum b3sp0l daran erinnern, dass 3n 8ber- trag no4 zu add0ren i}. falls d0 8bertragszahlen denno4 not0rt wer- den, muss daf8r 3ne z3le fr3 gelas- sen werden. damit 8bertr`ge von den >a#a.a #bae anderen zahlen zu unter53den sind, kann b3 d0ser z3le das zahlz34en weggelassen werden. alternativ k9n- nen in der z3le des summen}ri4es d0 8bertr`ge ge5r0ben werden. w3sen d0 zahlen gro~e unter50de in ihrer l`nge 1f, kann es n8tzli4 s3n, d0 leeren }ellen mit nullen 1fzuf8l- len. d0se d0nen dem finger zur orient0rung zwi5en den ziffern des- selben }ellenwerts dar8ber und dar- unter. b3sp0l >a#a.a >b#ja #ade #ade +# be +# be :::: --u- #agj #agj #ade #ade +# be +# be :::: a #agj ::::: ==== =#agj >a#a.a #baf b3sp0l >a#a.a >b#jb # id,geahi # id,geahi # h,i +# h,ijjjj +# a,fce +# a,fcejj :::::::::::: aab # aje,bhfhi ::::::::::: #aje,bhfhi >a#a.b subtraktion :::::::::::::::::: b3 der 5riftli4en subtraktion sind zw3 grunds`tzli4 ver50dene algorith- men zu erkennen. s0 unter53den si4 er} in f`llen, in denen 3ne ziffer in der unteren zahl =subtrahend= gr9~er i} als d0 entspre4ende ziffer in der oberen zahl =minuend=, w0 b3 (#de minus #bg). im d2t5en spra4r1m i} das erg`n- zungsverfahren am w3te}en verbr3tet. in d0sem verfahren wird d0 obere ziffer dur4 zehn erg`nzt. im b3sp0l von (#de minus #bg) wird an}elle von #e mit #ae gere4net und d0 untere ziffer in der links davon }ehenden >a#a.a->a#a.b #bag spalte um #a erg`nzt: d0 #b wird zu 3ner #c. das andere, international 8berw0- gend verwendete verfahren i} das entb8ndelungsverfahren. h0r wird ni4t d0 untere zahl erg`nzt, sondern d0 #a =3gentli4 #aj'= f8r d0 #e der links davon }ehenden ziffer entnom- men. in unserem b3sp0l wird d0 #d zu 3ner #c. r3n braille5riftte4ni5 hat das er- g`nzungsverfahren den vort3l, dass immer nur #a dazu gez`hlt wird, was si4 l34ter merken und 14 not0ren l`sst, als d0 `nderungen b3m entb8n- delungsverfahren. in folgenden b3sp0len bez0hen si4 (8bertragsz3len) nur 1f das erg`n- zungsverfahren. b3sp0l >a#a.b >b#ja #de #de -#bg -#bg ::: a #ah ::: === #ah >a#a.b #bah b3sp0l >a#a.b >b#jb #fcdej #fc.dej -# bbaj -# b.baj :::::: ::::::: #fabdj #fa.bdj ======= b3sp0l >a#a.b >b#jc #ajj #ajj,j #ajj%j -# b,e -# b,e -# b%e ::::::: aaa :::::: #ig,e :::::: #ig,e ===== =# ig,e ===== >a#a.c multiplikation ::::::::::::::::::::: b3 der 5riftli4en multiplikation sind vor allem unter50de in der position0rung der t3lergebnisse sow0 in der r3henfolge der t3l5ritte'- vom gr9~ten zum kl3n}en }ellenwert oder umgekehrt'- zu beoba4ten. es i} zu bea4ten, dass links gen8- gend platz f8r das ergebnis fr3 ge- lassen wird. falls mit der 3ner-zif- >a#a.b->a#a.c #bai fer begonnen wird, kann es vort3l- haft s3n, d0 leer}ellen re4ts von den t3lergebnissen mit nullen 1szu- f8llen. b3sp0l >a#a.c >b#ja #bgc.#ahd #bgc.#ahd ::::::::: ::::::::: # bgc # bgc # bahd +# bahd # ajib +# ajib ::::::::: :::::::: #ejbcb # ejbcb #bgc .#ahd #bgc .#ahd :::::::::: :::::::::: # ajib # ajib # bahd # bahdj # bgc # bgcjj :::::::::: :::::::::: #ejbcb #ejbcb ====== ====== >a#a.c #bbj >a#a.d division ::::::::::::::: b3 der 5riftli4en division vari0- ren im d2t5en spra4r1m vor allem d0 anzahl der zwi5en5ritte, d0 not0rt werden, sow0 der umgang mit dem re}- betrag. in der braille5rift er5wert der z3lenwe4sel na4 oben das not0ren der t3l- und endergebnisse. oft werden t3lergebnisse zun`4} in d0 z3len der zwi5en5ritte ge5r0ben und er} am 5luss zu 3ner zahl =endergebnis= zu- sammengef8gt. das ergebnis wird ent- weder w0 in der 5warz5rift oben oder aber unten not0rt. ohne 3ne gewisse 8bung und grund- erfahrung in der prakti5en arb3t mit der braille5riftma5ine kann es unter um}`nden 5w0rig s3n, abzu5`tzen, ob no4 1sr34end 5r3bplatz 1f der blatt- fl`4e f8r d0 voll}`ndige division mit allen zwi5en5ritten zur verf8- gung }eht. >a#a.d #bba b3sp0l >a#a.d >b#ja #eeb :#bd =#bc #eeb :#bd =#bc -#dh #b # gb #b ::: # j #c # gb # gb #c :::: # j b3sp0l >a#a.d >b#jb #cea :#ae =#bc >r#f #cj #b ::: # ea # de #c :::: # f re} >a#a.d #bbb #cea :#ae #b #cj --- # ea #c # de :::: % # fj #d # fj ::::: # j =#bc,d ====== >a#a.e lineare addition ::::::::::::::::::::::: neben den }ark an d0 5warz5rift angelehnten re4enverfahren wurden 14 an d0 braille5riftma5ine angepasste te4niken entwickelt. es soll h0r d0 lineare addition als b3sp0l d0nen. das verfahren l`sst si4 in l34ter abwandlung ebenfalls f8r das re4nen am computer 3nsetzen. >a#a.d->a#a.e #bbc b3sp0l >a#a.e >b#ja es sollen d0 b3den dezimalzahlen #i,gc und #c,df add0rt werden. zu- n`4} wird d0 1fgabe 1fge}ellt: #i,gc +#c,df =# 5ritt #a': d0 anzahl der }ellen der l`ng}en zahl =inklusive dezimal- trennz34en= wird ermittelt und 3ns dazu gez`hlt. das ergibt d0 maximale l`nge des ergebnisses. der 5r3bkopf der braille5riftma5ine =h0r dur4 al- le se4s punkte darge}ellt= wird so w3t na4 re4ts bewegt, dass das er- gebnis platz hat. im b3sp0l wird da- her v0rmal d0 leerta}e gedr8ckt. =b3m re4nen am computer muss der cursor ni4t na4 re4ts bewegt wer- den.= #i,gc +#c,df =# % 5ritt #b': d0 ziffern der letzten }elle werden add0rt und das ergebnis hinge5r0ben. dana4 wird zw3mal d0 r8ckta}e bet`tigt. =b3m re4nen am >a#a.e #bbd computer wird der cursor 3nmal na4 links bewegt.= #i,gc +#c,df =# %i 5ritt #c': d0 ziffern der zw3t- letzten }elle werden add0rt und das ergebnis wird ge5r0ben. im b3sp0l muss der 8bertrag gemerkt oder am re4ten rand der z3le not0rt werden. der 5r3bkopf wird links neben d0 ge- 5r0bene ziffer des ergebnisses ge}ellt. =b3m re4nen am computer wird der cursor 3nmal na4 links be- wegt.= #i,gc +#c,df =# %ai 5ritt #d': das komma wird ge5r0ben und zw3mal d0 r8ckta}e gedr8ckt. =b3m re4nen am computer wird der cursor 3nmal na4 links bewegt.= #i,gc +#c,df =# %,ai 5ritt #e': d0 ziffern links des kommas werden add0rt und der 8ber- >a#a.e #bbe trag dazugere4net. d0 zahl wird 1f- ge5r0ben. #i,gc +#c,df =#ac,ai >a#a.f das l9sen von gl34ungen :::::::::::::::::::::::::::::: b3m l9sen von gl34ungen ergeben si4 k1m andere te4niken als in der 5warz5rift. dagegen entfallen m9g- li4k3ten der arb3t innerhalb der z3- le'- w0 b3sp0lsw3se das dur4}r34en von elementen und das 5r3ben von n2- en'- w3tgehend, so dass d0 l9sung mehr z3len 3nnehmen kann als in der 5warz5rift. 3n senkre4ter }ri4 %"l =gelegentli4 14 als (operatoren}ri4) bekannt= kann ge5r0ben werden, um 3ne dur4zuf8hrende operation von der gl34ung zu trennen. das in der 5warz5rift 8bli4e unter3nander}ellen sol4er }ri4e i} in der braille5rift ni4t d0nli4; am be}en werden zw3 oder dr3 leerz34en, vor und k3ne na4 dem }ri4 gelassen. >a#a.e->a#a.f #bbf b3sp0l >a#a.f >b#ja #cx -#g =#da "l+#g #cx =#dh "l:#c x =#ah b3sp0l >a#a.f >b#jb 2x8#b +#d`|; =#ajj "l3 x8#b +#d =+-#aj "l-#d x8#b =#f oder -#ad "l.#b x =#ab oder -#bh >a#a.f #bbg >a#a.f #bbh >a#b `nderungen in der mathematik5rift ====================== >a#b.a ge`nderte symbole :::::::::::::::::::::::: %!{ ... ge5w3fte 9ffnende klammer %!} ... ge5w3fte 5l0~ende klammer %${ ... spitze 9ffnende klammer %$} ... spitze 5l0~ende klammer %'{ ... }umpfwinklige 9ffnende klammer %'} ... }umpfwinklige 5l0~ende klammer %#!{ ge5w3fte spezielle 9ffnende braille5riftklammer %#!} ge5w3fte spezielle 5l0~ende braille5riftklammer %"l ... senkre4ter }ri4 =an allen }ellen= %"% ... senkre4ter doppel}ri4 =an allen }ellen= =das zw3te vollz34en i} t3l des sym- bols.= >a#b->a#b.a #bbi %4! ... k3l mit spitze re4ts als mark0rung %4, ... k3l mit spitze links als mark0rung %") grad =kringel= %"* minute =}ri4= %"** sekunde =doppel}ri4= %rad radiant =rad= %rad|; quadratradiant %&e ... i} element von =mengenleh- re= %| .... oberer index oder exponent =fr8her nur oberer index= %"d ... rundes d =f8r partielle ab- l3tung= %4!; pf3l na4 oben %4;, pf3l na4 unten %!( ... mal =}ern= >a#b.b n2e symbole :::::::::::::::::: %!>{ g1~5e 9ffnende klammer =obere grenze= %!>} g1~5e 5l0~ende klammer =obere grenze= >a#b.a->a#b.b #bcj %!<{ g1~5e 9ffnende klammer =untere grenze= %!<} g1~5e 5l0~ende klammer =untere grenze= %$!{ z3lenzusammenfassungsklam- mer: mehrere z3len zusam- menfassende gro~e linke ge5w3fte klammer %7:, im uhrz3gersinn %7!: gegen den uhrz3gersinn %7? ... rhombus %7+ ... parallelogramm %> .... kl3ner quer}ri4 3nes zuord- nungspf3ls %::o pf3l na4 re4ts mit 3nfa4em 5aft und 3nfa4er spitze %9:: pf3l na4 links mit 3nfa4em 5aft und 3nfa4er spitze %9::o pf3l na4 links und re4ts mit 3nfa4em 5aft und 3n- fa4en spitzen %==o pf3l na4 re4ts mit doppel- tem 5aft und 3nfa4er spitze =implikationspf3l= %9== pf3l na4 links mit doppel- tem 5aft und 3nfa4er spitze >a#b.b #bca %9==o doppelpf3l mit doppeltem 5aft =`quivalenzpf3l= %,,o pf3l na4 re4ts mit ge}ri- 4eltem 5aft und 3nfa4er spitze %9,, pf3l na4 links mit ge}ri- 4eltem 5aft und 3nfa4er spitze %9,,o pf3l na4 links und re4ts mit ge}ri4eltem 5aft und 3nfa4en spitzen >a#b.c zahlen ::::::::::::: d0 ber3ts praktiz0rte verwendung von runden klammern f8r d0 dar}el- lung von periodi5en dezimalbr84en wurde 1fgenommen =s0he (#b.a.d pe- riodi5e dezimalbr84e)=. 1f d0 abw34ende praxis b3 den de- zimal- und gl0derungsz34en in geld- betr`gen in der 5w3z und l04ten}3n wird 3ngegangen =s0he (#b.a.c dezi- malbr84e) und (#b.a.e gl0derung lan- ger zahlen)=. >a#b.b->a#b.c #bcb r9mi5e zahlen werden analog zu an- deren bu4}abenfolgen behandelt und ni4t mit dem zahlz34en 3ngel3tet. >a#b.d exponenten und indizes ::::::::::::::::::::::::::::: exponenten werden n2 mit ,demsel- ben z34en %| w0 obere indizes 3n- gel3tet. n2 darf 3n minusz34en ohne punkt #d =zusammenhaltepunkt= 1f 3n index- z34en folgen. negative ganze zahlen d8rfen ebenso na4 3nem index in ge- senkter 5r3bw3se ge5r0ben werden =s0he (#b.a.b zahlen in gesenkter 5r3bw3se) und (#aj.c.c indizes 1s ganzen zahlen)=. >a#b.e br84e :::::::::::: n2 m8ssen z`hler und nenner bezo- gen 1f den ab}and zum bru4}ri4 gl34 ge}altet s3n. bru4anfangs- und '-en- >a#b.c->a#b.e #bcc dez34en m8ssen immer paarw3se ver- wendet werden. 3n 1s 3ner ganzen zahl be}ehender nenner darf na4 3nem bru4}ri4 ni4t in gesenkter 5r3bw3se }ehen. f8r den ab5luss s`mtli4er br84e in 3nem mehrfa4bru4 wurde das z34en %%< defin0rt. =s0he (#i br8- 4e).= >a#b.f bu4}aben ::::::::::::::: d0 kennz34nung von gro~- und kl3n- 5r3bung i} n2 geregelt. s0 i} nun mit der text5rift kompatibler. d0 kennz34nung f8r goti5e bu4}aben wurde ge}ri4en. goti5e bu4}aben wer- den n2 w0 andere bu4}aben mit 3ner besonderen typografi5en 1sz34nung behandelt. =s0he (#c.d besondere ty- pografi5e 1sz34nungen).= gr04i5e bu4}aben werden n2 3nh3t- li4 mit dem fr8heren ank8ndigungsz3- 4en f8r gr04i5e kl3nbu4}aben %< angek8ndigt. gro~5r3bung wird mit den allgem3n 8bli4en ank8ndigungsz3- >a#b.e->a#b.f #bcd 4en gekennz34net. das fr8here ank8n- digungsz34en f8r gr04i5e gro~bu4}a- ben wurde ge}ri4en. f8r eta, theta und 4i gelten d0 bisherigen alterna- tivz34en. =s0he (#c.c gr04i5e bu4}a- ben).= d0 fr8heren druckkennz34en wurden dur4 zw3 ank8ndigungsz34en f8r ni4t n`her be}immte besondere typografi5e 1sz34nungen ersetzt. d0 bed2tung i} jew3ls in 3ner anmerkung fe}zuhal- ten. =s0he (#c.d besondere typo- grafi5e 1sz34nungen).= >a#b.g klammern und senkre4te }ri4e ::::::::::::::::::::::::::::: um mit n2erungen in der text5rift 3ne m9gli4} w3tgehende kompatibi- lit`t zu gew`hrl3}en, wurden d0 sym- bole f8r ge5w3fte, spitze und }umpf- winklige klammern angepasst. n2 }e- hen zus`tze zum grundz34en immer vor d0sem, 14 b3 5l0~enden klammern. =s0he (#f klammern und senkre4te >a#b.f->a#b.g #bce }ri4e).= f8r 3ne gro~e linke ge5w3fte klam- mer, d0 mehrere z3len (zusammen- h`lt), wurde 3n n2es symbol defin0rt =s0he (#f.d mehrz3lige klammer1sdr8- cke)=. l0gende klammern werden nunmehr als horizontale zusammenfassungen behandelt und ni4t in ihrer art unter50den =s0he (#ae.b horizontale zusammenfassungen und l0gende klam- mern)=. das symbol f8r 3nen senkre4ten }ri4 wird n2 generell mit %"l darge}ellt, d0 b3den betrags}ri4e 3nes paares sind also gl34. doppel- }ri4e =ni4t zw3 3nfa4e }ri4e= werden 3nh3tli4 mit %"% ge5r0ben. das fr8here alternativsymbol wurde ge}ri4en. =s0he (#f.e senkre4te }ri- 4e).= >a#b.g #bcf >a#b.h 3nh3ten :::::::::::::: das fr8here 5l8sselz34en f8r 3nh3- ten wurde ge}ri4en. alle 3nh3ten werden mit dem z34en % 3ngel3tet. b3 3nh3tenkomplexen wird das z34en nur 3nmal gesetzt. =s0he (#d.a kenn- z34nung von 3nh3tensymbolen).= n2 wurden 14 w`hrungs3nh3ten 1fge- nommen. n2grad, n2winkelminute und n2win- kelsekunde werden ni4t mehr 1fge- f8hrt. >a#b.i pf3le :::::::::::: d0 (1sf8hrli4e pf3lsymbolik) wurde in (modulare pf3le) umbenannt, kon- si}enter gema4t und dur4 3nen }ri4 f8r zuordnungspf3le erw3tert. d0 symbole f8r pf3l na4 oben und pf3l na4 unten werden jetzt ebenfalls als modulare pf3le ge5r0ben. =s0he (#g.a >a#b.h->a#b.i #bcg modulare pf3le).= 1s der text5rift wurden 14 defi- n0rte symbole f8r 3nige pf3le 8ber- nommen =s0he (#g.b defin0rte pf3- le)=. >a#b.aj projektivte4nik ::::::::::::::::::::::: d0 anzahl der ver}`rkungsebenen f8r projektive wurde von zw3 1f 3ne reduz0rt. f8r d0 ver}`rkung }ehen jedo4 zw3 ver50dene ank8ndigungen zur verf8gung, d0 14 ver5a4telt ver- wendet werden k9nnen. f8r den ab- 5luss s`mtli4er projektive wurde das z34en %%5 defin0rt. =s0he (#aj.b ver}`rkte projektive).= >a#b.aa we4sel zwi5en text- und mathematik5rift ::::::::::::::::::::::::::::::: n2 sind d0 ver50denen methoden zur kennz34nung des we4sels zwi5en den >a#b.i->a#b.aa #bch 5riften explizit 1sgef8hrt. d0 dop- pelleerz34ente4nik sow0 d0 kennz34- nung dur4 layout sind geregelt. =s0- he (#a.a we4sel zwi5en text- und ma- thematik5rift).= d0 r8ckkehr zur text5rift f8r 3n 3nzelnes oder wenige w9rter in 3ner mathematikpassage wurde n2 defin0rt und muss nun ni4t nur angek8ndigt, sondern 14 abgek8ndigt werden =s0he (#a.a.c an- und abk8ndigungsz34en f8r text5rift)=. >a#b.ab son}iges :::::::::::::::: es wird daran fe}gehalten, das fr8here (dur4)-z34en %/ ni4t w0der 1fzunehmen. der mal}ern wird n2 als %!( de- fin0rt. d0 abtrennung des arguments vom funktionssymbol b3 sinus, logarith- mus und `hnli4em wurde geregelt =s0- he (#c.f kurzwortsymbole), (#aa.b logarithmus- und exponentialfunktio- >a#b.aa->a#b.ab #bci nen) sow0 (#ad.b winkel-, hyperbel- funktionen und umkehrungen)=. n2 d8rfen bel0bige kurzwortsymbole explizit mit dem kurzwort5l8sselz3- 4en %7 gebildet werden =s0he (#c.f kurzwortsymbole)=. d0 diversen funktionen des punktes #d werden erl|tert =s0he (#a.b tren- nen und zusammenhalten mathemati5er 1sdr8cke) und (#c.e bu4}aben`hnli4e symbole)=. d0 in der text5rift #bjaa 3nge- f8hrten klammern f8r anmerkungen der 8bertragenden person finden nun ebenfalls in der mathematik5rift an- wendung =s0he (#a.c anmerkungen zur braille5rift8bertragung)=. braille5riftte4ni5e begriffli4k3- ten wurden angepasst. so i} zum b3- sp0l von braille5rift und ni4t punkt5rift d0 rede. ohne d0 regeln selb} zu `ndern, wurde 1f d0 begrif- fe (zellenhaft) und (}ellbar) ver- zi4tet. >a#b.ab #bdj >a#c glossar ============ im glossar befinden si4 erkl`run- gen zu in d0sem bu4 verwendeten braille5riftte4ni5en begriffen. begriffe, d0 an anderer }elle des glossars n`her erkl`rt werden, sind mit '* gekennz34net. abk8ndigungsz34en: z34en'* der braille5rift'*, das ni4t selb} 3n symbol'* der 5warz5rift'* w0der- gibt, sondern anz3gt, dass der 3n- 5ub in text-'* oder mathematik- 5rift'* abge5lossen und somit der we4sel in das jew3ls andere braille5riftsy}em'* erfolgt i}. an- und abk8ndigungste4nik: te4nik der braille5rift'*, d0 ni4t selb} 3ne entspre4ung in der 5warz- 5rift'* hat und zur vor8bergehen- den `nderung der bed2tung von z3- 4en'* dur4 den we4sel in 3n ande- res braille5riftsy}em'* d0nt. >a#c glossar >a #bda ank8ndigungsz34en: z34en'* der braille5rift'*, das ni4t selb} 3n symbol'* der 5warz5rift w0dergibt, sondern anz3gt, w0 das bzw. d0 na4folgenden z34en'* zu lesen sind. basis5rift: s0he k8rzungsgrad. blinden5rift: s0he braille5rift. brailleform: der platz, der dur4 3n braillez34en'* 3ngenommen wird. s0 be}eht 1s 3nem senkre4t }ehenden feld, in dem d0 punkte in zw3 spalten angeordnet sind. s0he 14 braillez34en. braillepunkt: 3ner der se4s bzw. a4t punkte 3nes braillez34ens'*. braille5rift: hapti5 wahrzunehmendes 5riftsy}em'*, b3 dem d0 braillez3- 4en'* 1s se4s oder a4t punkten ge- bildet werden. unter50den wird zwi5en der #f-punkte- und der #h- punkte-braille5rift. braille5riftklammern, spezielle: s0- he spezielle braille5riftklammern. braille5rift8bertragungsklammern: z34en'* der braille5rift'*, d0 ni4t selb} symbole'* der 5warz- >a#c glossar >a->b #bdb 5rift'* w0dergeben. s0 erm9gli4en erl|ternde zus`tze zur braille- 5rift8bertragung =s0he (#a.c an- merkungen zur braille5rift8bertra- gung)=. braille5riftsy}em: sy}em, in wel4em den z34en'* mit blick 1f den ver- wendungszweck =mathematik, 4em0, fremdspra4e usw.= entspre4end dem jew3ligen regelwerk konkrete bed2- tungen zugew0sen werden. braillez34en: 3ne der #fd =#f-punk- te-braille= bzw. #bef =#h-punkte- braille= m9gli4en kombinationen gesetzter braillepunkte'* in 3ner brailleform'* 3n5l0~li4 des leer- z34ens'*. doppelleerz34ente4nik: 3ne form der kennz34nung des we4sels zwi5en ma- thematik-'* und text5rift'* bzw. umgekehrt dur4 zw3 1f3nanderfol- gende leerz34en'* =s0he (#a.a.d doppelleerz34ente4nik)=. gl0derungsz34en: z34en zur gl0derung gro~er zahlen unabh`ngig von den in der 5warz5riftvorlage gew`hlten gl0derungsz34en =s0he (#b.a.e gl0- >a#c glossar >b->g #bdc derung langer zahlen)=. index: 3ne zahl, variable o.`., d0 in der 5warz5rift'* ho4- oder t0f- ge}ellt, vor oder hinter 3nem ma- themati5en 1sdruck }eht =s0he (#aj.c indizes und exponenten)=. kurz5rift: s0he k8rzungsgrad. k8rzungsgrad: 3ne der folgenden dr3 1sf8hrli4k3ts}ufen f8r d0 w0derga- be von text in der d2t5en braille- 5rift'*: '- basis5rift: jeder bu4}abe wird in 3ne brailleform'* ge5r0ben. '- voll5rift: d0 bu4}abengruppen 'au, '`u, 'ch, 'ei, 'eu, 'ie, 'sch und 'st werden jew3ls mit 3nem 3genen braillez34en'* ge5r0ben. '- kurz5rift: es werden k8rzungen verwendet, d0 bu4}abengruppen und ganze w9rter w0dergeben. $la$te>x: 3n satzsy}em, mit dem 14 mathemati5e texte er}ellt werden k9nnen. mathemati5e 1sdr8cke =z.b. br84e= werden in linearer 5r3bw3se er}ellt. in d0sem regelwerk er- f8llt d0 $la$te>x-5r3bw3se d0 >a#c glossar >g->l #bdd funktion 3ner zw3ten dar}ellungs- form der b3sp0le f8r braillelesen- de. s0 d0nen jedo4 ni4t als 5r3b- anl3tung f8r $la$te>x. layoutte4nik: 3ne form der kennz34- nung des we4sels zwi5en mathema- tik-'* und text5rift'* bzw. umge- kehrt dur4 den gez0lten 3nsatz von ge}altungsmitteln, z.b. 3n- und 1sr8ckungen oder tabellen =s0he (#a.a.a layout)=. leerz34en: braillez34en'*, in dem k3ne punkte gesetzt sind. mark0rung: 3n zusatz zu 3nem sym- bol'*, der in der 5warz5rift'* 8ber- oder unterhalb bzw. ho4- oder t0fge}ellt hinter d0sem }eht. es wird zwi5en 3nfa4en und zusam- menfassenden mark0rungen unter50- den. w`hrend 3nfa4e mark0rungen nur 3nem symbol'* zugeordnet sind, bez0hen si4 zusammenfassende mar- k0rungen immer 1f mehrere symbo- le'* =s0he (#h 3nfa4e und zusam- menfassende mark0rungen)=. mathematik5rift: 3n sy}em der d2t5en braille5rift'* zur w0dergabe ma- >a#c glossar >l->m #bde themati5er inhalte. h0r k9nnen braillez34en'* andere bed2tungen als in anderen braille5riftsy}e- men'* =z.b. text5rift'*= haben. s0 unterl0gen dadur4 speziellen re- geln, d0 in dem vorl0genden werk fe}gehalten sind. passage: 3ne folge zusammenh`ngender z34en'* in text-'* oder mathema- tik5rift'*. projektivte4nik: 3ne te4nik der ma- thematik5rift'* zur 3ndimensiona- len w0dergabe von: '- symbolen'*, d0 si4 8ber andere symbole'* er}recken =zum b3sp0l das wurzelz34en= und '- dem grad der ho4- bzw. t0f}el- lung von indizes. es wird zwi5en 3nfa4en und ver}`rkten projektiven unter50den =s0he (#aj projektivte4nik)=. 5warz5rift: d0 5rift der sehenden im unter50d zur braille5rift'*. spezielle braille5riftklammern: z3- 4en'* der mathematik5rift'*, d0 ni4t selb} symbole'* der 5warz- 5rift'* w0dergeben. s0 werden 3n- >a#c glossar >m->s #bdf gef8gt, um typografi5e bzw. r|mli- 4e ge}altungsmittel der 5warz- 5rift'* 3nd2tig abzubilden, z.b. be5riftung an pf3len =s0he (#g.c be5riftung von pf3len)=. symbol: h0r defin0rt als z34en'* der 5warz5rift'* oder dessen entspre- 4ung in der braille5rift'*. demzu- folge sind z34en'* der braille- 5rift'* 14 symbole, sofern s0 3ne 5warz5riftentspre4ung haben, z.b. summenz34en. dagegen sind z34en'*, d0 nur in der braille5rift'* vor- kommen, z.b. ank8ndigungsz34en'*, k3ne symbole. in der braille- 5rift'* k9nnen symbole 1s mehreren braillez34en'* be}ehen. text5rift: das grundlegende sy}em der d2t5en braille5rift'* =gere- gelt in (das sy}em der d2t5en blinden5rift)=, mit dem h1pts`4li4 text in ver50denen k8rzungsgra- den'*, aber 14 zahlen und w3tere z34en'* der 5warz5rift w0der- gegeben werden. s0 wird dur4 zu- s`tzli4e braillesy}eme'* =z.b. d0- se mathematik5rift'*= erg`nzt. >a#c glossar >s->t #bdg voll5rift: s0he k8rzungsgrad'*. z34en: h0r element der 5warz-'* oder braille5rift'*, dem 3ne 3gene be- d2tung zugeordnet i}. in der braille5rift'* kann 3n z34en 1s 3nem oder mehreren braillez34en'* be}ehen. s0he 14 symbol'*. z3lentrennz34en: z34en'* der braille5rift'*, das ni4t selb} 3n symbol'* der 5warz5rift'* w0der- gibt, sondern am ende der braille- 5riftz3le gesetzt wird. es w3} dar1f hin, dass der mathemati5e 1sdruck no4 ni4t abge5lossen i} und in der folgenden z3le fort- gesetzt wird =s0he (#a.b trennen und zusammenhalten mathemati5er 1sdr8cke)=. zusammenhaltepunkt: z34en'* der braille5rift'*, das ni4t selb} 3n symbol'* der 5warz5rift'* w0der- gibt, sondern 3n leerz34en'* er- setzt, um 3nen mathemati5en 1s- druck inhaltli4 zusammenzuhalten. er kann 14 z34en zusammenhalten, d0 1s braille5riftte4ni5en gr8nden ni4t direkt 1f3nander treffen d8r- >a#c glossar >v->z #bdh fen. =s0he (#a.b trennen und zu- sammenhalten mathemati5er 1sdr8- cke).= >a#c glossar >z #bdi >a#c glossar >z #bej >a#d mathemati5e z34en, geordnet na4 der #f-punkte-braille- tabelle ================================ in d0sem regi}er werden d0 mathe- matikz34en na4 den braillez34en ge- ordnet, 1s denen s0 be}ehen. s0 wer- den na4 folgender, 1f louis braille zur8ckgehender 1f}ellung ger3ht. zu bea4ten i}, dass si4 der bu4}abe w im gegensatz zu den anderen bu4}aben des alphabets ni4t in den er}en dr3 r3hen befindet, sondern am ende der v0rten. 1f}ellung der braillez34en in braillete4ni5er r3henfolge %a %b %c %d %e %f %g %h %i %j %k %l %m %n %o %p %q %r %s %t %u %v %x %y %z %& %% %{ %~ %} %1 %2 %3 %4 %5 %6 %7 %8 %9 %w %, %; %: %/ %? %+ %= %( %* %) %| %0 %# %` %. %- %" %> % %! %$ %< %' >a#d z34cli}e #bea d0 r3hen setzen si4 w0 folgt zu- sammen: '- #, r3he: d0 er}en zehn bu4}aben. das sind d0selben z34en, d0 f8r zahlen verwendet werden. s0 haben alle minde}ens 3nen punkt oben, minde}ens 3nen punkt in der lin- ken h`lfte der brailleform und k3nen punkt unten. '- #; r3he: d0 z34en der #, r3he mit 3nem zus`tzli4en punkt #c. '- #: r3he: d0 z34en der #, r3he mit zus`tzli4en punkten #c und #f. der bu4}abe w wird 1sgelassen. '- #/ r3he: d0 z34en der #, r3he mit 3nem zus`tzli4en punkt #f. am en- de d0ser r3he befindet si4 der bu4}abe w. '- #? r3he: d0 z34en der #, r3he um 3ne punktr3he t0fer ge5r0ben. '- #+ r3he: alle 8brigen z34en mit 3nem punkt in der linken h`lfte der brailleform. '- #= r3he: alle z34en, d0 nur punk- te in der re4ten h`lfte der brailleform haben. >a#d z34cli}e #beb %a ....... #b.a.a'; ziffer 3ns '- ..... #c.c'; alpha %b ....... #b.a.a'; ziffer zw3 '- ..... #c.c'; beta %c ....... #b.a.a'; ziffer dr3 '- ..... #b.b'; r9mi5e ziffer hundert '- ..... #c.c'; 4i %d ....... #b.a.a'; ziffer v0r '- ..... #b.b'; r9mi5e ziffer f8nfhundert '- ..... #c.c'; delta %e ....... #b.a.a'; ziffer f8nf '- ..... #c.c'; epsilon %f ....... #b.a.a'; ziffer se4s '- ..... #c.c'; phi %g ....... #b.a.a'; ziffer s0ben '- ..... #c.c'; gamma %h ....... #b.a.a'; ziffer a4t '- ..... #c.c'; theta %i ....... #b.a.a'; ziffer n2n '- ..... #b.b'; r9mi5e ziffer 3ns '- ..... #c.c'; iota %j ....... #b.a.a'; ziffer null '- ..... #c.c'; eta %k ....... #c.c'; kappa %l ....... #b.b'; r9mi5e ziffer >a#d z34enli}e %a-%l #bec f8nfzig '- ..... #c.c'; lambda %m ....... #b.b'; r9mi5e ziffer t1- send '- ..... #c.c'; my %n ....... #c.c'; ny %o ....... #c.c'; omikron %oo, ..... #e>c; gro~ gegen %o, ...... #e>a, #e>c; gr9~er als %o,9. .... #e>c; gr9~er oder kl3ner als %o= ...... #e>c; gr9~er oder gl34 %o=9. .... #e>c; gr9~er, gl34 oder kl3ner %p ....... #c.c'; pi %q ....... #c.c'; koppa %r ....... #c.c'; rho %s ....... #c.c'; sigma %t ....... #c.c'; t1 %u ....... #c.c'; ypsilon %v ....... #b.b'; r9mi5e ziffer f8nf '- ..... #c.c'; digamma %x ....... #b.b'; r9mi5e ziffer zehn '- ..... #c.c'; xi %y ....... #c.c'; psi >a#d z34enli}e %l-%y #bed %z ....... #c.c'; zeta %& ....... #c.c'; 4i %&a ...... #ab'; aleph %&d ...... #c.e', #aa', #aa.c'; gro~es delta als dif- ferenzz34en %&e ...... #c.e', #e>e, #ab', >a#b.a'; i} element von =mengenlehre= %&n ...... #ad.c'; nabla %&o ...... #ab'; leere menge %&p ...... #c.e', #aa', #aa.a'; produktz34en %&s ...... #c.e', #aa', #aa.a'; summenz34en %&2...` #ae.b'; abk8ndigungsz3- 4en f8r horizontale zusammenfassungen mit erl|terung als mathe- mati5er 1sdruck %&, ...... #ab'; f8r alle %&: ...... #ae.b'; ank8ndigungsz3- 4en f8r horizontale zusammenfassungen %&? ...... #ab'; es gibt %&* ...... #e>e, #ab'; hat zum ele- ment >a#d z34enli}e %z-%& #bee %&'=...'= #ae.b'; abk8ndigungsz3- 4en f8r horizontale zusammenfassungen mit erl|terung als text %%5 ...... #aj'; 5lussz34en f8r s`mtli4e projektive =das zw3te vollz34en i} t3l des z34ens.= %%< ...... #i'; ende s`mtli4er br8- 4e =das zw3te vollz3- 4en i} t3l des sym- bols.= %{ ....... #f'; eckige 9ffnende klammer %~ ....... #aa', #aa.c'; integral %~~ ...... #aa', #aa.c'; doppelin- tegral %~~) ..... #aa', #aa.c'; h8llenin- tegral %~: ...... #aa', #aa.c'; oberes in- tegral %~) ...... #aa', #aa.c'; uml1finte- gral %~<: ..... #aa', #aa.c'; unteres integral %} ....... #f'; eckige 5l0~ende klammer >a#d z34enli}e %&-%} #bef %1 ....... #aj'; unterer index =hinten= '- ..... #aa', #aa.a', #aa.c'; untere grenze =hinte- rer unterer index= '- ..... #aj'; vorderer unterer index %1. ...... #e>e, #ab'; vermindert um, ohne %2 ....... #f'; runde 9ffnende klammer '- ..... #b.a.d'; anfang der pe- riode 3nes periodi5en dezimalbru4es '- ..... #h'; bogen %2= ...... #e>e, #ab'; i} enthalten in oder gl34 %2. ...... #e>e, #ab'; i} enthalten in, i} t3lmenge von %3 ....... #aj'; wurzel %3, ...... #e>f, #ac'; oder %3: ...... #e>e; vel =verbands- theor0= %3. ...... #e>e, #ab'; ver3nigt mit %4 ....... #c.c'; theta '- ..... #g.a'; 5l8sselz34en f8r pf3ldar}ellungen >a#d z34enli}e %1-%4 #beg '- ..... #h'; haken =versi4e- rungsmathematik= %4, ...... #h', >a#b.a'; k3l mit spitze links als mar- k0rung %4;, ..... #e>h, >a#b.a'; pf3l na4 unten %4=, ..... #e>h; implikationspf3l =pf3l na4 re4ts mit doppeltem 5aft= %4! ...... #h', >a#b.a'; k3l mit spitze re4ts als mar- k0rung %4!; ..... #e>h, >a#b.a'; pf3l na4 oben %4!=, .... #e>h; `quivalenzpf3l =doppelpf3l mit dop- peltem 5aft= %5 ....... #c.c'; eta '- ..... #h'; abk8ndigungsz34en f8r zusammenfassende mark0rungen '- ..... #aj'; 5lussz34en f8r 3n- fa4e projektive %6 ....... #e>b; fakult`t %6a ...... #ad.b'; arkus %6c ...... #ad.b'; kosinus >a#d z34enli}e %4-%6 #beh %6d ...... #ad.c'; div =divergenz= %6e ...... #aa', #aa.b'; exponen- tialfunktion %6g ...... #ad.c'; grad =gradient= %6l ...... #aa', #aa.b'; logarith- mus %6n ...... #aa', #aa.b'; numerus %6r ...... #ad.c'; rot, curl =rota- tion= %6s ...... #ad.b'; sinus %6t ...... #ad.b'; tangens %6{ ...... #aa', #aa.b'; argument %62 ...... #ad.b'; kosekans %68 ...... #ad.b'; kotangens %6,c ..... #ad.b'; arkuskosinus %6,l ..... #aa', #aa.b'; antiloga- rithmus %6,s ..... #ad.b'; arkussinus %6,t ..... #ad.b'; arkustangens %6,2 ..... #ad.b'; arkuskosekans %6,8 ..... #ad.b'; arkuskotangens %6,(c .... #ad.b'; areakosinus hy- perbolicus %6,(s .... #ad.b'; areasinus hyper- bolicus %6,(t .... #ad.b'; areatangens hy- perbolicus >a#d z34enli}e %6 #bei %6,(8 .... #ad.b'; areakotangens hyperbolicus %6,- ..... #ad.b'; arkussekans %6:l ..... #aa', #aa.b'; erg`n- zungs- oder komplemen- t`rlogarithmus %6/l ..... #aa', #aa.b'; logarith- mus dualis %6(c ..... #ad.b'; kosinus hyperbo- licus %6(l ..... #aa', #aa.b'; logarith- mus naturalis %6(s ..... #ad.b'; sinus hyperbo- licus %6(t ..... #ad.b'; tangens hyperbo- licus %6(8 ..... #ad.b'; kotangens hyper- bolicus %6- ...... #ad.b'; sekans %7 ....... #c.f'; 5l8sselz34en f8r kurzwortsymbole %7% ...... #ad'; re4teck =das zw3te vollz34en i} t3l des symbols.= %79 ...... #ad'; winkel %7:, ..... #ad', >a#b.b'; im uhrz3- gersinn >a#d z34enli}e %6-%7 #bfj %7/ ...... #ad'; dr3eck %7? ...... #ad', >a#b.b'; rhombus %7+ ...... #ad', >a#b.b'; paralle- logramm %7= ...... #ad'; quadrat %7( ...... #ad'; re4ter winkel %7* ...... #ad'; dur4messer %7) ...... #ad'; kr3s %7!: ..... #ad', >a#b.b'; gegen den uhrz3gersinn %8 ....... #e>b, #i'; bru4}ri4 %99. ..... #e>c; kl3n gegen %9,, ..... #g.b', >a#b.b'; pf3l na4 links mit ge}ri4eltem 5aft und 3nfa4er spit- ze %9,,o .... #g.b', >a#b.b'; pf3l na4 links und re4ts mit ge}ri4eltem 5aft und 3nfa4en spitzen %9:: ..... #e>h, #g.b', >a#b.b'; pf3l na4 links mit 3n- fa4em 5aft und 3nfa4er spitze %9::o .... #e>h, #g.b', >a#b.b'; doppelpf3l mit 3nfa4em 5aft >a#d z34enli}e %7-%9 #bfa %9= ...... #e>c; kl3ner oder gl34 %9=o, .... #e>c; kl3ner, gl34 oder gr9~er %9== ..... #g.b', >a#b.b'; pf3l na4 links mit doppeltem 5aft und 3nfa4er spit- ze %9==o .... #e>h, #g.b', #ac', >a#b.b'; doppelpf3l mit doppeltem 5aft =`quivalenzpf3l= %9. ...... #e>a, #e>c; kl3ner als %9.o, .... #e>c; kl3ner oder gr9~er als %w ....... #c.c'; omega %, ....... #b.a.b'; ziffer 3ns =ge- senkte 5r3bw3se= '- ..... #b.a.c'; dezimaltrennz3- 4en =komma= '- ..... #g.a'; 3nfa4e spitze na4 re4ts oder oben %,, ...... #g.a'; doppelte spitze na4 re4ts oder oben %,,o ..... #g.b', >a#b.b'; pf3l na4 re4ts mit ge}ri4eltem 5aft und 3nfa4er spit- ze >a#d z34enli}e %9-%, #bfb %; ....... #aa', #aa.c'; abl3tungs- punkt '- ..... #b.a.b'; ziffer zw3 =ge- senkte 5r3bw3se= '- ..... #g.a'; 3nfa4er vertika- ler pf3l5aft '- ..... #h'; punkt '- ..... #i'; bru4anfang %;; ...... #g.a'; ge}ri4elter 3nfa- 4er vertikaler pf3l5aft %: ....... #h', #ad.c'; waagre4ter }ri4 =mark0rung= '- ..... #b.a.b'; ziffer dr3 =ge- senkte 5r3bw3se= '- ..... #e>a, #e>b; get3lt dur4, verh`lt si4 zu =dop- pelpunkt= '- ..... #g.a'; 3nfa4er horizon- taler pf3l5aft %:, ...... #h', #ad', #ad.c'; pf3l na4 re4ts =mark0rung= '- ..... #e>h, #g.a'; pf3l na4 re4ts mit 3nfa4em 5aft und 3nfa4er spitze %:: ...... #g.a'; ge}ri4elter 3nfa- 4er horizontaler >a#d z34enli}e %;-%: #bfc pf3l5aft %::o ..... #e>h, #g.b', >a#b.b'; pf3l na4 re4ts mit 3n- fa4em 5aft und 3nfa4er spitze %:= ...... #e>c; definitionsgem`~ gl34 =doppelpunkt gl34h3tsz34en= %:=: ..... #e>c; vert15bar =doppel- punkt gl34h3tsz34en doppelpunkt= %:* ...... #e>f, #ac'; ni4t %:0 ...... #e>g; projektiv zu %/ ....... #b.a.b'; ziffer v0r =ge- senkte 5r3bw3se= '- ..... #h'; }ern %? ....... #b.a.b'; ziffer f8nf =gesenkte 5r3bw3se= '- ..... #e>c; `hnli4, `quiva- lent, proportional '- ..... #g.a'; 3nfa4er diagona- ler pf3l5aft =links oben!,re4ts unten= '- ..... #h'; 5langenlinie =til- de= %?? ...... #e>c; ungef`hr gl34 >a#d z34enli}e %:-%? #bfd '- ..... #g.a'; ge}ri4elter 3nfa- 4er diagonaler pf3l- 5aft =links oben!, re4ts unten= %?= ...... #e>g; kongruent =geome- tr0= %+ ....... #b.a.b'; ziffer se4s =gesenkte 5r3bw3se= '- ..... #e>a, #e>b, #h'; plus %+- ...... #e>b; plus!,minus %= ....... #b.a.b'; ziffer s0ben =gesenkte 5r3bw3se= '- ..... #e>a, #e>c, #h'; gl34 '- ..... #g.a'; doppelter hori- zontaler pf3l5aft %=: ...... #e>c; definitionsgem`~ gl34 =gl34h3tsz34en doppelpunkt= %== ...... #e>c; identi5 gl34, kon- gruent =zahlentheor0= '- ..... #g.a'; ge}ri4elter dop- pelter horizontaler pf3l5aft %==o ..... #e>h, #g.b', #ac', >a#b.b'; pf3l na4 re4ts mit doppeltem 5aft und 3nfa4er spit- >a#d z34enli}e %?-%= #bfe ze =implikationspf3l= %=0 ...... #e>g; perspektiv zu %( ....... #b.a.b'; ziffer a4t =ge- senkte 5r3bw3se= '- ..... #e>b, #ab'; mal =kr2z= '- ..... #h'; kr2z =5r`g= =mark0- rung= %* ....... #b.a.b'; ziffer n2n =ge- senkte 5r3bw3se= '- ..... #h', #aa', #aa.c', #ab'; }ri4 =mark0rung!,abl3- tung= '- ..... #g.a'; 3nfa4er diagona- ler pf3l5aft =links unten!,re4ts oben= %*o, ..... #e>c; ni4t gr9~er als %*&e ..... #e>e, #ab'; i} ni4t ele- ment von %*9. ..... #e>c; ni4t kl3ner als %*? ...... #e>c; ni4t `hnli4, ni4t `quivalent, ni4t pro- portional %*?= ..... #e>g; inkongruent =geo- metr0= %*= ...... #e>c; ungl34 %*== ..... #e>c; ni4t identi5 gl34, inkongruent =zahlen- >a#d z34enli}e %=-%* #bff theor0= %** ...... #g.a'; ge}ri4elter 3nfa- 4er diagonaler pf3l5aft =links unten!,re4ts oben= %*"l ..... #e>d; t3lt ni4t %) ....... #b.a.b'; ziffer null =gesenkte 5r3bw3se= '- ..... #aa', #aa.a'; verkn8pft mit =kr3s, kuller= '- ..... #e>b; verkn8pft mit =kuller, verkettungs- z34en, kr3soperator= '- ..... #h'; kr3s, kuller =mar- k0rung= %| ....... #aj', >a#b.a'; oberer index =hinten= oder exponent '- ..... #aa', #aa.a', #aa.c'; obere grenze =hinterer oberer index= '- ..... #aj'; vorderer oberer index %|c ...... #ab'; ho4ge}elltes c als mark0rung f8r komple- ment`re mengen %|. ...... #e>e, #ab'; symmetri5e >a#d z34enli}e %*-%| #bfg differenz %0 ....... #h'; da4 =mark0rung= %0, ...... #e>f, #ac'; und %0: ...... #e>e; et =verbands- theor0= %0?? ..... #e>c; entspri4t ungef`hr %0= ...... #e>c; entspri4t %0. ...... #e>e, #ab'; ge5nitten mit %# ....... #b.a.a'; zahlz34en %#l ...... #aa', #aa.c'; limes %#l: ..... #aa', #aa.c'; limes su- perior %#l<: .... #aa', #aa.c'; limes in- ferior %#% ...... #aa', #aa.a'; unendli4 =das zw3te vollz34en i} t3l des symbols.= %#{ ...... #f', #f.c'; eckige spe- zielle 9ffnende braille5riftklammer %#} ...... #f', #f.c'; eckige spe- zielle 5l0~ende braille5riftklammer %#1 ...... #aj'; vorderer unterer index %#2 ...... #f', #f.c'; runde spe- >a#d z34enli}e %0-%# #bfh zielle 9ffnende braille5riftklammer %#| ...... #aj'; vorderer oberer index %#` ...... #f', #f.c'; runde spe- zielle 5l0~ende braille5riftklammer %#. ...... #e>g, #ad'; senkre4t 1f %#...2...` #b.a.d'; periodi5er de- zimalbru4 %#!{ ..... #f', #f.c', >a#b.a'; ge- 5w3fte spezielle 9ff- nende braille5rift- klammer %#!} ..... #f', #f.c', >a#b.a'; ge- 5w3fte spezielle 5l0- ~ende braille5rift- klammer %` ....... #f'; runde 5l0~ende klammer %`, ...... #e>e, #ab'; enth`lt, i} obermenge von %`= ...... #e>e, #ab'; enth`lt oder i} gl34 %. ....... #b.a.c'; dezimaltrennz3- 4en =punkt= in 1snah- mef`llen >a#d z34enli}e %#-%. #bfi '- ..... #b.a.e'; gl0derungsz34en '- ..... #e>a, #e>b; mal =punkt= %- ....... #e>a, #e>b, #h'; minus '- ..... #g.a'; }ri4 dur4 den pf3l5aft %-+ ...... #e>b; minus!,plus %" ....... #a.b'; z3lentrennz34en zwi5en zw3 unmittelbar bena4barten z34en '- ..... #a.b'; zusammenhalte- punkt '- ..... #d.d'; akzentz34en %"d ...... #c.e', #aa', #aa.c', >a#b.a'; rundes d =f8r partielle abl3tung= %"h ...... #c.e'; h-quer, reduz0rte planck5e kon}ante %"l ...... #f', #f.e', >a#b.a'; senkre4ter }ri4 =an allen }ellen= '- ..... #ab'; senkre4ter }ri4, so dass '- ..... #e>d; t3lt '- ..... #aa', #aa.c'; integral- }ri4 %"p ...... #c.e'; w3er}ra~5es p %"% ...... #e>g, #ad'; parallel zu >a#d z34enli}e %.-%" #bgj =das zw3te vollz34en i} t3l des symbols.= '- ..... #f', #f.e', >a#b.a'; senkre4ter doppel}ri4 =an allen }ellen= =das zw3te vollz34en i} t3l des symbols.= %"%= ..... #e>g; parallel und gl34 =das zw3te vollz34en i} t3l des symbols.= %> ....... #c.a', #c.b'; 3n oder mehrere gro~bu4}aben '- ..... #h'; ank8ndigungsz34en f8r 3nfa4e obere mar- k0rungen '- ..... #g.a', >a#b.b'; kl3ner quer}ri4 3nes zuord- nungspf3ls %>~ ...... #aa', #aa.c'; integral besonderer art %>:, ..... #e>h, #g.a'; zuordnungs- pf3l % ....... #h', #aj'; ank8ndigungs- z34en f8r zusammenfas- sende untere mark0run- gen '- ..... #c.a', #c.d', #ad.c'; #; >a#d z34enli}e %"-% #bga besondere typografi5e 1sz34nung '- ..... #d.a'; kennz34en f8r 3n- h3tensymbole %ct ..... #d.f'; 2ro-cent =2rozo- ne= %dkr .... #d.f'; krone =d`nemark= %e>v .... #d.d'; elektronenvolt %i>r .... #d.f'; rupie =indien= %k$hz ... #d.d'; kilohertz %k<>w ... #d.d'; kiloohm %m ...... #d.d'; meter %min .... #d.d'; minute %mm ..... #d.d'; millimeter %m>a .... #d.d'; milliampere %rad .... #d.c', >a#b.a'; radiant =rad= %rad|; #d.c', >a#b.a'; quadrat- radiant %s ...... #d.d'; sekunde %sec .... #d.d'; sekunde %#j) .... #d.b'; prozent %#j)) ... #d.b'; promille %"c ..... #d.f'; cent =vor allem >usa= %"e ..... #d.f'; 2ro =2rozone= %"l ..... #d.f'; pfund =vor allem >a#d z34enli}e % #bgb gro~britannien= %"s ..... #d.f'; dollar =vor allem >usa= %"s>a ... #d.f'; dollar =1}ralien= %"y ..... #d.f'; yen =japan= %"y ..... #d.f'; yuan =4ina= %"* ..... #d.c', >a#b.a'; minute =}ri4= %"** .... #d.c', >a#b.a'; sekunde =doppel}ri4= %") ..... #d.c', >a#b.a'; grad =kringel= %>aud ... #d.f'; dollar =1}ralien= %>chf ... #d.f'; franken =5w3z= %>cny ... #d.f'; yuan =4ina= %>czk ... #d.f'; krone =t5e4i5e republik= %>dkk ... #d.f'; krone =d`nemark= %>eur ... #d.f'; 2ro =2rozone= %>gbp ... #d.f'; pfund =gro~bri- tannien= %>inr ... #d.f'; rupie =indien= %>jpy ... #d.f'; yen =japan= %>mv .... #d.d'; megavolt %>m'e>v #d.d'; megaelektronen- volt %>nzd ... #d.f'; dollar =n2see- >a#d z34enli}e % #bgc land= %>nz"s #d.f'; dollar =n2see- land= %>tl .... #d.f'; pfund!,lira =t8r- k3= %>trl ... #d.f'; pfund!,lira =t8r- k3= %>usd ... #d.f'; dollar =>usa= %>v ..... #d.d'; volt %>"a .... #d.d'; "ang}r9m %$fr. ... #d.f'; franken =5w3z= %$hz .... #d.d'; hertz %$kc .... #d.f'; krone =t5e4i5e republik= %$me>v #d.d'; megaelektronen- volt %w ... #d.d'; mikrowatt %w .... #d.d'; ohm %! ....... #aj'; zw3tes projektiv- ver}`rkungsz34en '- ..... #c.a', #c.d', #ad.c'; #, besondere typografi5e 1sz34nung '- ..... #g.a'; 3nfa4e spitze na4 links oder unten '- ..... #h'; zw3tes ver}`rkungs- >a#d z34enli}e %-%! #bgd z34en f8r zusammenfas- sende mark0rungen b3 ver5a4telungen %!{ ...... #f', #ab', >a#b.a'; ge- 5w3fte 9ffnende klam- mer %!} ...... #f', #ab', >a#b.a'; ge- 5w3fte 5l0~ende klam- mer %!5 ...... #h'; zw3tes abk8ndi- gungsz34en f8r ver}`rkte zusammenfas- sende mark0rungen '- ..... #aj'; 5lussz34en f8r ver}`rkte projektive %!, ...... #a.a', #a.a.b'; ank8ndi- gungsz34en f8r 3ne passage in mathematik- 5rift %!: ...... #e>h, #g.a', #h'; pf3l na4 links mit 3nfa4em 5aft und 3nfa4er spit- ze %!:, ..... #e>h, #g.a'; pf3l na4 links und re4ts mit 3nfa4em 5aft und 3nfa- 4en spitzen >a#d z34enli}e %! #bge %!( ...... #e>b, >a#b.a'; mal =}ern= %!>{ ..... #f', >a#b.b'; g1~5e 9ff- nende klammer =obere grenze= %!>} ..... #f', >a#b.b'; g1~5e 5l0- ~ende klammer =obere grenze= %!! ...... #g.a'; doppelte spitze na4 links oder unten %!<{ ..... #f', >a#b.b'; g1~5e 9ff- nende klammer =untere grenze= %!<} ..... #f', >a#b.b'; g1~5e 5l0- ~ende klammer =untere grenze= %$ ....... #c.a', #c.b'; 3n gro~- bu4}abe, gefolgt von 3nem oder mehreren kl3nbu4}aben '- ..... #h', #aj'; ank8ndigungs- z34en f8r zusammenfas- sende obere mark0run- gen '- ..... #h'; ver}`rkungsz34en f8r zusammenfassende mark0rungen >a#d z34enli}e %!-%$ #bgf '- ..... #aj'; projektivver}`r- kungsz34en %${ ...... #f', >a#b.a'; spitze 9ffnende klammer %$} ...... #f', >a#b.a'; spitze 5l0~ende klammer %$2 ...... #ad'; zusammenfassende mark0rung f8r bogen =bogen 8ber mehreren symbolen= %$5 ...... #h'; abk8ndigungsz34en f8r ver}`rkte zusam- menfassende mark0run- gen '- ..... #aj'; 5lussz34en f8r ver}`rkte projektive %$: ...... #ad'; zusammenfassende mark0rung f8r }recke =waagre4ter }ri4 8ber mehreren bu4}aben= %$:, ..... #ad'; zusammenfassende mark0rung f8r vektor =pf3l 8ber mehreren symbolen= %$!{ ..... #f', >a#b.b'; z3lenzu- sammenfassungsklammer: mehrere z3len zusam- >a#d z34enli}e %$ #bgg menfassende gro~e lin- ke ge5w3fte klammer %$$c ..... #c.e', #ab'; menge der komplexen zahlen %$$h ..... #c.e', #ab'; menge der quaternionen %$$n ..... #c.e', #ab'; menge der nat8rli4en zahlen %$$p ..... #c.e', #ab'; projektive gerade %$$q ..... #c.e', #ab'; menge der rationalen zahlen %$$r ..... #c.e', #ab'; menge der reellen zahlen %$$z ..... #c.e', #ab'; menge der ganzen zahlen %< ....... #c.a', #c.c'; gr04i5e bu4}aben '- ..... #h'; ank8ndigungsz34en f8r 3nfa4e untere mar- k0rungen '- ..... #i'; bru4ende %<8 ...... #f', #f.e', #ad.c'; be- ginn 3ner n2en z3le %' ....... #c.a', #c.b'; kl3nbu4}a- ben '- ..... #c.g'; ank8ndigungsz34en >a#d z34enli}e %$-%' #bgh f8r satzz34en '- ..... #a.b'; z3lentrennz34en an der }elle 3nes leerz34ens %'{ ...... #f', >a#b.a'; }umpfwink- lige 9ffnende klammer %'} ...... #f', >a#b.a'; }umpfwink- lige 5l0~ende klammer %'. ...... #a.a', #a.a.b'; abk8ndi- gungsz34en f8r 3ne passage in mathematik- 5rift %'. ...... #a.a', #a.a.c'; ank8ndi- gungsz34en f8r 3ne passage in text5rift '- ..... #a.a', #a.a.c'; abk8ndi- gungsz34en f8r 3ne passage in text5rift '- ..... #a.a', #a.a.b'; abk8ndi- gungsz34en f8r 3ne passage in mathematik- 5rift %'<= ..... #a.c', #f'; 9ffnende und 5l0~ende klammer f8r anmerkungen zur braille5rift8bertra- gung >a#d z34enli}e %' #bgi >a#d z34enli}e %' #bhj >a#e alphabeti5es sa4regi}er ============================ }ern4en w3sen 1f 3ntr`ge in z34en- li}en und fettdruck b3 mehreren ver- w3sen 1f den wi4tig}en 3ntrag hin. >a abk8ndigung: s0he an- und abk8ndi- gungste4nik abl3tungs}ri4: s0he }ri4e abl3tungspunkt: s0he punkt `hnli4, `quivalent, proportional: #e', #e>c'* analysis: #aa an- und abk8ndigungste4nik: '- br84e: #i.c '- doppelleerz34ente4nik: #a.a.d '- horizontale zusammenfassungen mit erl|terung als text: #ae.b '- mathematik5rift: #a.a'*, #a.a.b'*, #a.a.e', #c.g', >a#b.aa '- text5rift: #a.a'*, #a.a.c'*, #a.a.e', >a#b.aa >a#e sa4regi}er >a #bha '- mark0rungen, 3nfa4e und zusam- menfassende: #h '- projektive: #aj', >a#b.aj "ang}r9m: #d.d'* anmerkungen zur braille5rift8bertra- gung: #a.c'*, #b.a.c', #c.c', #c.d', #c.e', #c.f', #e', #f'*, #f.c', #g.a', #ae.a', >a#b.f', >a#b.ab apo}roph =b3 zahlen=: #b.a.a', #b.a.e `quivalent, proportional, `hnli4: #e', #e>c'* arabi5e ziffern: s0he zahlen argument =funktion=: #aa'*, #aa.b'* argumente: s0he funktionen >b bogen: #h'*, #h.b', #ad.a'* braille5riftte4ni5e anmerkungsklam- mern: s0he anmerkungen zur braille5rift8bertragung braille5riftklammern, spezielle: #f'*, #f.c'* br84e: #i '- anfangs- und endez34en: #i'*, #i.c >a#e sa4regi}er >a->b #bhb '- 1sf8hrli4e 5r3bw3se: #i'*, #i.c '- dezimalbr84e: #b.a.c '- 3nfa4e 5r3bw3se: #i'*, #i.b '- mehrfa4br84e: #i'*, #i.d '- zahlenbr84e: #b.a.b', #i.a bu4}aben: #c '- akzentbu4}aben: #d.d '- allgem3nes zur kennz34nung: #c.a '- bu4}aben`hnli4e symbole: #c.e '- gr04i5e: s0he gr04i5e bu4}aben '- gro~- und kl3n5r3bung: #b.b', #c.a', #c.b', #c.c', #c.d', #c.f', #c.h', (vorwort'- kom- pakth3t versus kontextunabh`n- gigk3t), >a#b.f '- kurzwortsymbole: #b.f '- lat3ni5e: #c.b '- typografi5e 1sz34nungen: #c.d bu4}aben`hnli4e symbole: s0he bu4}a- ben >c cartesi5es produkt =malkr2z=: #e', #e>b'*, #ab'* >a#e sa4regi}er >b->c #bhc >d d, rundes =partielle abl3tung=: #c.e'*, #aa'*, #aa.c'* datum: s0he zahlen delta: #c.c'* '- gro~es als differenzz34en: #c.e'*, #aa'*, #aa.c'* dezimalbr84e: s0he br84e dezimalklassifikatoren: s0he zahlen dezimaltrennz34en: s0he zahlen differenzz34en, delta =gro~es=: #c.e'*, #aa', #aa.c doppelleerz34ente4nik: #a.a.d dr3eck: #ad.a'* dur4, get3lt dur4, verh`lt si4 zu =doppelpunkt=: #e', #e>a'*, #e>b'*, >a#b.ab dur4messer: #ad.a'* >e 3nh3tensymbole: #d '- 1s bu4}aben: #d.d '- kennz34nung: #d.a element von: #e', #e>e'*, #ab'* enthalten in oder gl34: #e', #e>e'*, #ab'* >a#e sa4regi}er >d->e #bhd enthalten in, t3lmenge von: #e', #e>e'*, #ab'* entspri4t: #e', #e>c'* exponenten: (zum gebr14 d0ses regel- werks'- $la$te>x), #b.a.b', #e', #h.a', #aj'*,#aj.c.a', >a#b.a', >a#b.d exponentialfunktion: #aa'*, #aa.b'* >f fettdruck: s0he typografi5e 1sz34- nungen, besondere funktionen: #aa', #aa.a', #aa.b '- argumente: #c.f', #aa.b', #ad.b', >a#b.ab '- exponentialfunktion: #aa'*, #aa.b'* >g gegen den uhrz3gersinn: #ad.a'* geld: #b.a.c', #b.a.e', #d.f', >a#b.c gemi5te zahlen: s0he zahlen geometr0: #c.f', #e>g'*, #ad.a'* get3lt dur4: s0he dur4 gl0derung langer zahlen: s0he zahlen gl0derungsz34en: s0he zahlen >a#e sa4regi}er >e->g #bhe goti5e bu4}aben: s0he typografi5e 1sz34nungen, besondere grenzen, obere und untere =hintere indizes=: #aa'*, #aa.a'*, #aa.c gr04i5e bu4}aben: #c.c'* gro~bu4}aben: s0he bu4}aben >h horizontaler }ri4 =mark0rung=: s0he }ri4e h-quer, reduz0rte planck5e kon}ante: #c.e'* hyperbelfunktionen: #ad.b'* hyperbolicus: #ad.b >i identi5 gl34, kongruent =zahlen- theor0=: #e', #e>c'* im uhrz3gersinn: #ad.a'* indizes: '- allgem3n: #aj'*, #aj.c', >a#b.d '- als grenzen b3 integralen: #aa.c'*, >a#b.d '- als grenzen b3 produkten und summen: #aa.a'*, >a#b.d >a#e sa4regi}er >g->i #bhf '- 1s ganzen zahlen: #b.a.b', #aj.c.c', >a#b.d '- vordere: #aj'*, #aj.c.b', >a#b.d '- hintere: #aj'*, #aj.c.c', >a#b.d inkongruent: '- operations- und relationsz34en =geometr0=: #e', #e>g'* '- zahlentheor0, ni4t identi5 gl34: #e', #e>c'* integrale: #aa'*, #aa.c'* integral}ri4: #aa'*, #aa.c'* >k k3l =mark0rung=: #h'*, #h.a kennz34en f8r 3nh3tensymbole: #d.a'* kennz34nung von bu4}aben: s0he bu4}aben kilo-: #d.e klammern: '- eckige klammern: #f'* '- eckige spezielle braille5rift- klammern: #f'*, #f.c'* '- 3nfa4e klammern: #f'*, #f.b '- g1~5e klammern =obere bzw. untere grenze=: #f'* >a#e sa4regi}er >i->k #bhg '- ge5w3fte klammern: #f'*, #ab'* '- ge5w3fte klammer 8ber mehrere z3len: #f'*, #f.d '- ge5w3fte spezielle braille- 5riftklammern: #f'*, #f.c'* '- l0gende klammern: #ae.b'* '- matrizen: #f.d '- mehrz3lige klammer1sdr8cke: #f.d '- runde klammern: #b.a.d', #f'* '- runde spezielle braille5rift- klammern: #f'*, #f.c'* '- spezielle braille5riftklammern: #f'*, #f.c'* '- }umpfwinklige klammern: #f'* '- textklammern: #f.f '- vektorklammern: #f.d', #ad.c '- z3lenzusammenfassungsklammer: #f'*, #f.d kl3n gegen: #e', #e>c'* kl3nbu4}aben: s0he bu4}aben kl3ner als: #e', #e>a'*, #e>c'* kl3ner oder gl34: #e', #e>c'* kl3ner oder gr9~er als: #e', #e>c'* kl3ner, gl34 oder gr9~er: #e', #e>c'* komplement`re mengen: #ab'* >a#e sa4regi}er >k #bhh kongruent =geometr0=: #e', #e>g'* koppa: #c.c'* kr3s: '- geometr0: #ad.a'* '- mark0rung: #h'*, #h.a kr2z, 5r`ges: '- malkr2z: #e', #e>b'* '- mark0rung: #h'*, #h.a kursivdruck: s0he typografi5e 1sz34- nungen, besondere kurzwortsymbole: s0he bu4}aben >l $la$te>x, gebr14 in d0sem werk: (zum gebr14 d0ses regelwerks'- $la$te>x) layout, 5riftwe4sel dur4: #a.a.a leere menge: #ab'* leerz34en, unterdr8ckung: #a.b l04ten}3n: '- frankenbetr`ge: #b.a.c', #b.a.e '- zahlengl0derung: #b.a.e limes: #aa'*, #aa.c'* logarithmusfunktionen: #aa'*, #aa.b'* logik: #e>f'*, #ac'* >a#e sa4regi}er >k->l #bhi >m mal '- cartesi5es produkt =malkr2z=: #e', #e>b'*, #ab'* '- kr2z: #e', #e>b'* '- punkt: #e', #e>a'*, #e>b'* '- }ern: #e', #e>b'* mark0rungen: #h '- 3nfa4e: #h'*, #h.a '- zusammenfassende: #h'*, #h.b mathematik5rift: '- entwicklung: (vorwort'- ent- wicklung) '- grundmerkmale: (vorwort'- kom- pakth3t versus kontextunabh`n- gigk3t) '- we4sel zu text5rift: s0he 5riftwe4sel matrizen: #f.d mega-: #d.e mehrere z3len zusammenfassende gro~e linke ge5w3fte klammer =z3lenzu- sammenfassungsklammer=: #f'*, #f.d mehrz3lige klammer1dr8cke: #f.d >a#e sa4regi}er >m #bij menge: '- der ganzen zahlen: #c.e'*, #ab'* '- der komplexen zahlen: #c.e'*, #ab'* '- der nat8rli4en zahlen: #c.e'*, #ab'* '- der quaternionen: #c.e'*, #ab'* '- der rationalen zahlen: #c.e'*, #ab'* '- der reellen zahlen: #c.e'*, #ab'* '- leere: #ab'* mengenlehre: #e', #e>e'*, #ab'* meter: #d.d'* mikro-: #d.e milli-: #d.e minus: #b.a.b', #e', #e>a'*, #e>b'*, >a#a.b '- als mark0rung: #h'*, #h.a '- in indizes: #aj.c.c', >a#b.d minute: #d.c'*, #d.d'* >a#e sa4regi}er >m #bia >n nabla: #ad.c'* ni4t: #e', #e>f'*, #ac'* ni4t `hnli4, ni4t `quivalent, ni4t proportional: #e', #e>c'* ni4t `quivalent, ni4t proportional, ni4t `hnli4: #e', #e>c'* ni4t element von: #e', #e>e'*, #ab'* ni4t gr9~er als: #e', #e>c'* ni4t identi5 gl34, inkongruent =zah- lentheor0=: #e', #e>c'* ni4t kl3ner als: #e', #e>c'* ni4t proportional, ni4t `hnli4, ni4t `quivalent: #e', #e>c'* numerus: #aa'*, #aa.b'* >o obermenge von, enth`lt: #e', #e>e'*, #ab'* oder: #e', #e>f'*, #ac'* ohm: #d.d'* operationsz34en: #e', #e>b'* ordnungszahlen: s0he zahlen >a#e sa4regi}er >n->o #bib >p parallel und gl34: #e', #e>g'* parallel zu: #e', #e>g'*, #ad.a'* parallelogramm: #ad.a'* partielle abl3tung, rundes d: #c.e'*, #aa'*, #aa.c'* passage in text5rift: #a.a', #a.a.c periodi5e dezimalbr84e: s0he zahlen perspektiv zu: #e', #e>g'* pf3le: #g'* '- be5riftung von: #g.c'* '- defin0rte: #e>g'*, #g', #g.b'* '- horizontale: #e>g'*, #g', #g.a'* '- logik: #ac'* '- mark0rung: #h'*, #h.a', #h.b', #ad.c'* '- modulare: #g.a'* '- operations- und relationsz34en: #e>h'* '- 5l8sselz34en: #g.a'* pfund: #d.f'* pi: #c.c'* '- als produktz34en: #c.e'*, #aa'*, #aa.a'* planck5e kon}ante: #c.e'* platzhalter: #ae.a >a#e sa4regi}er >p #bic plus: #e', #e>a'*, #e>b'* '- als mark0rung: #h'*, #h.a '- in indizes: #aj.a', #aj.c.c plus!,minus: #e', #e>b'* produktz34en: #c.e'*, #aa'*, #aa.a'* projektiv zu: #e', #e>g'* projektive gerade: #c.e'*, #ab'* projektivte4nik: #aj '- ende s`mtli4er projektive: #aj'*, #aj.b', >a#b.aj '- 3nfa4e projektive: #aj.a '- indizes und exponenten: #aj.c '- ver}`rkte projektive: #aj.b promille: #d.b'* proportional, `quivalent, `hnli4: #e', #e>c'* prozent: #d.b'* punkt: '- abl3tungspunkt: #h'*, #h.a', #aa'*, #aa.c'* '- malpunkt: #e', #e>a'*, #e>b'* '- mark0rung: #h'*, #h.a '- satzpunkt: #c.g '- t1sender-trennz34en =gl0de- rungsz34en=: #b.a.e'* >a#e sa4regi}er >p #bid punkt #d': '- akzentz34en: #a.b', #d.d'* '- z3lentrennz34en: #a.b'* '- leerz34enersatz: #a.b'*, #aj.a '- symbolbe}andt3l: #a.b '- zusammenhaltepunkt: #a.b'* punkt #f': '- satzz34en, ank8ndigung f8r: #c.g'* '- z3lentrennz34en: #a.b'* >q quadrat: #ad.a'* quadratradiant: #d.c'* >r radiant =rad=: #d.c'* randmark0rung: #a.a.a re4teck: #ad.a'* relationsz34en: #e', #e>c'* rhombus: #ad.a'* r9mi5e zahlen, ziffern: #b.b'* rot, curl =rotation=: #ad.c'* rundes d =partielle abl3tung=: #c.e'*, #aa'*, #aa.c'* >a#e sa4regi}er >p->r #bie >s satzz34en: '- kennz34nung: #c.g '- 5riftwe4sel: #a.a.b', #a.a.d', #a.a.e 5langenlinie, tilde =mark0rung=: #h'*, #h.a', #h.b 5l8sselz34en: '- 3nh3ten: >a#b.h '- geometri5e symbole: #ad.a '- kurzw9rter: #c.f'*, >a#b.ab '- pf3le: #g.a'* '- verwe4slung mit: #e 5r`ger }ri4: s0he }ri4e 5riftli4e re4enverfahren: #b.a.a', >a#a 5riftwe4sel =mathematik und text=: #a.a', #c.h', >a#b.aa 5r`ges kr2z: s0he kr2z, 5r`ges 5w3z: '- frankenbetr`ge: #b.a.c', #b.a.e '- zahlengl0derung: #b.a.e sekunde: #d.c'*, #d.d'* senkre4t 1f: '- operations- und relationsz34en: #e>g'* '- geometri5e symbole: #ad.a'* >a#e sa4regi}er >s #bif senkre4te }ri4e: s0he }ri4e sigma: #c.c'* '- als summenz34en: #c.e'*, #aa'*, #aa.a'* so dass, senkre4ter }ri4: #f.e', #ab'* spezielle braille5riftklammer: #f'*, #f.c'* }andardmengen: #c.e'*, #ab'* }ern: '- als mark0rung: #h'*, #h.a '- mal}ern: #e', #e>b'*, >a#b.a'*, >a#b.ab }recke =mark0rung=: #h'*, #h.b', #ad.a'* }ri4e: '- als mark0rung f8r komplement`re mengen: #h'*, #h.a', #ab '- abl3tungs}ri4e =mark0rung=: #h'*, #h.a', #aa'*, #aa.c'* '- dur4 den pf3l5aft: #g.a'* '- horizontale =mark0rung=: #h'*, #h.a', #h.b', #ad.c '- minuten}ri4: #d.c'* '- 5r`ge =mark0rung=: #h'*, #h.a '- sekunden}ri4e: #d.c'* '- senkre4te: #f'*, #f.e'*, #ab'* >a#e sa4regi}er >s #big '- so dass =senkre4ter }ri4=: #f.e', #ab'* summenz34en: #c.e'*, #aa'*, #aa.a'* symbole: '- bu4}aben`hnli4e: #c.e '- 3nh3ten: s0he 3nh3ten '- geometri5e: #c.f', #e>g'*, #ad.a'* symmetri5e differenz: #e', #e>e'*, #ab'* >t tabellenspalten: #a.a.a t1sender-trennz34en: #b.a.e'* t3lt: #e', #e>d'* t3lt ni4t: #e', #e>d'* t3lmenge von, enthalten in: #e', #e>e'*, #ab'* temperaturma~e: #d.c'* text5rift: s0he 5riftwe4sel tilde, 5langenlinie =mark0rung=: #h'*, #h.a', #h.b trennz34en: '- t1sender-trennz34en: #b.a.e'* '- z3lentrennz34en =braille5rift=: #a.b'* trigonometr0: #ad.b'* >a#e sa4regi}er >s->t #bih typografi5e 1sz34nungen, besondere: #c.a'*, #c.d'*, #ad.c >u 8bertragung in braille5rift: s0he anmerkungen zur braille5rift8ber- tragung uhrz3ten: s0he zahlen und: #e', #e>f'*, #ac'* unendli4: #aa'*, #aa.a'* ungef`hr gl34: #e', #e>c'* ungl34: #e', #e>c'* >v variablen, typografi5e kennz34nung: #c.d', #c.f', #c.h', #d.a vektor: #ad.c '- mark0rung =pf3l 8ber 3nem sym- bol=: #h'*, #h.a', #h.b', #ad.c'* vel =verbandstheor0=: #e', #e>e'* ver3nigt mit: #e', #e>e'*, #ab'* vergr9~erungspr`fixe: #d.e verh`lt si4 zu =doppelpunkt=, get3lt dur4: s0he dur4 verkl3nerungspr`fixe: #d.e >a#e sa4regi}er >t->v #bii verkn8pft mit =kuller=: #e', #e>b'*, #aa'*, #aa.a'* vermindert um, ohne: #e', #e>e'*, #ab'* ver5a4telung: '- mark0rungen: #h.b '- projektive: #aj.b vert15bar =doppelpunkt-gl34h3tsz3- 4en-doppelpunkt=: #e', #e>c'* volt: #d.d'* vordere indizes: #aj'*, #aj.a', #aj.b', #aj.c.b', #aj.c.c >w w`hrungssymbole: #d.f'* waagre4ter }ri4 =mark0rung=: #h'*, #ad.c we4sel zwi5en text- und mathematik- 5rift: s0he 5riftwe4sel w3er}ra~5es p: #c.e'* winkel: '- z34en: #ad.a'* '- re4ter: #ad.a'* '- funktionen: #ad.b'* '- ma~e: #d.c'* wurzel: #aj'*, #aj.d >a#e sa4regi}er >v->w #cjj >z zahlen: #b'* '- arabi5e: #b.a '- datum: #b.a.f '- dezimalbr84e: #b.a.c '- dezimalklassifikatoren: #b.a.f '- dezimaltrennz34en: #b.a.a', #b.a.c'*, #b.a.f', >a#a.e '- ganze zahlen: #b.a.b '- gemi5te zahlen: #i.a '- gesenkte 5r3bw3se: #b.a.b'*, #i.a '- gl0derung langer zahlen: #b.a.a', #b.a.e'*, >a#a '- gl0derungsz34en: #b.a.a', #b.a.e'*, >a#a '- mengen =ganze, reelle zahlen usw.=: #c.e'*, #ab'* '- ordnungszahlen: #b.a.f '- periodi5e dezimalbr84e: #b.a.d'* '- r9mi5e: #b.b'* '- }andard5r3bw3se: #b.a.a'* '- uhrz3t: #b.a.f '- verk8rzte 5r3bw3se 1s der text- 5rift: #b.a.f >a#e sa4regi}er >z #cja '- zahlenbr84e: s0he br84e '- zahlz34en: #b.a.a'* zahlenbr84e: s0he br84e zahlz34en: s0he zahlen z34en: '- summenz34en: #c.e'*, #aa'*, #aa.a'* '- produktz34en: #c.e'*, #aa'*, #aa.a'* '- differenzz34en: #c.e'*, #e>e'*, #aa'*, #aa.c'* z3lentrennz34en =braille5rift=: #a.b'* z3lenumbru4: '- braille5riftz3lenumbr84e: #a.b'* '- kennz34nung von 5warz5riftz3- lenumbr84en: #f'*, #f.d', #f.e'*, #ad.c'* z3lenzusammenfassungsklammer: #f'*, #f.d ziffern: #b'* '- }andard5r3bw3se: #b.a.a'* '- gesenkte 5r3bw3se: #b.a.b'* zuordnungspf3l: #e>h'*, #g.a'* zusammenfassungen, horizontale: #ae.b'* >a#e sa4regi}er >z #cjb zusammenhaltepunkt: #a.b'* :::::::::::: ende des bu4es ====== >a#e sa4regi}er >z #cjc >a#e sa4regi}er >z #cjd